Втреугольнике abc бессектриса угла а делит высоту , проведённую из вершины в, в отношении 13: 12, считая от точки в. найдите радиус окружности , описанной около треугольника авс, если вс=10.
Чтобы решить задачку надо вспомнить расширенную теорему синусов. В данном случае, так как известна сторона ВС, то лучше воспользоваться стороной ВС и углом ВАС. Синус этого угла предстоит вычислить.
Пусть ВН - высота, проведенная к стороне АС.
АК - биссектриса угла ВАС, где К - точка пересечения биссектрисы со стороной ВС.
Точка О - пересечение высоты ВН и биссектрисы АК.
Тогда по свойству биссектрисы, делящей ВН в отношении ВО:ОН=12:13,
из прямоугольного треугольника АВН стороны АВ и АН относятся так же друг к другу.
АВ:АН=13:12.
Заметим, что косинус - это отношение прилежащей стороны к гипотенузе. В данном случае
Нетрудно догадаться, что АН:АВ=12:13.
По основному тригонометрическому тождеству
Заметим, что
Выбираем положительное значение синуса. Так как угол в треугольнике всегда от 0 до 180 градусов. Подставляем в формулу (1).
Чтобы решить задачку надо вспомнить расширенную теорему синусов. В данном случае, так как известна сторона ВС, то лучше воспользоваться стороной ВС и углом ВАС. Синус этого угла предстоит вычислить.
Пусть ВН - высота, проведенная к стороне АС.
АК - биссектриса угла ВАС, где К - точка пересечения биссектрисы со стороной ВС.
Точка О - пересечение высоты ВН и биссектрисы АК.
Тогда по свойству биссектрисы, делящей ВН в отношении ВО:ОН=12:13,
из прямоугольного треугольника АВН стороны АВ и АН относятся так же друг к другу.
АВ:АН=13:12.
Заметим, что косинус - это отношение прилежащей стороны к гипотенузе. В данном случае
Нетрудно догадаться, что АН:АВ=12:13.
По основному тригонометрическому тождеству
Заметим, что
Выбираем положительное значение синуса. Так как угол в треугольнике всегда от 0 до 180 градусов. Подставляем в формулу (1).
R=13.
ответ: R=13.