Втреугольнике abc известно, что ab = c, bc=a , ac=b. в каком отношении центр вписанной окружности делит биссектрису угла треугольника проведенную из вершины c?
Пусть дан треугольник АВС, АВ=ВС АМ - медиана к ВС и равна 15см АС=16см Проведем из вершины В высоту ВН (она же и медиана равнобедренного треугольника) к основанию АС. АН=НС=8см АМ и ВН пересекаются в точке О. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. АО:ОМ=2:1 АО=10см Треугольник АОН - прямоугольный, и из отношения АН и АО- египетский. ОН=6см (ОН:АН:АО=3:4:5) можно проверить по т. Пифагора. ОН:ВО=1:2 ВО=12,см ВН=18см Из прямоугольного треугольника ВНС найдем ВС по т.Пифагора. ВС²=НС²+ВН²=64+324=388 ВС=2√97см ВМ=ВС:2= √97см
АМ - медиана к ВС и равна 15см
АС=16см
Проведем из вершины В высоту ВН (она же и медиана равнобедренного треугольника) к основанию АС.
АН=НС=8см
АМ и ВН пересекаются в точке О.
Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
АО:ОМ=2:1
АО=10см
Треугольник АОН - прямоугольный, и из отношения АН и АО- египетский.
ОН=6см (ОН:АН:АО=3:4:5) можно проверить по т. Пифагора. ОН:ВО=1:2
ВО=12,см
ВН=18см
Из прямоугольного треугольника ВНС найдем ВС по т.Пифагора.
ВС²=НС²+ВН²=64+324=388
ВС=2√97см
ВМ=ВС:2= √97см
По теореме косинусов:
1) AB² = Х² +[(Х+4)/2]² - 2Х*[(Х+4)/2]*Соsα
2) BC² = Х² +[(Х+4)/2]² - 2Х*[(Х+4)/2]*Соs(180-α).
Но Cos(180-α) = - Соsα. Тогда 2) BC² = Х² +[(Х+4)/2]² + 2Х*[(Х+4)/2]*Соsα.
Сложим уравнения 1 и 2: AB²+ВС²= 2Х² +2[(Х+4)/2]² или 784+1296= 2Х² + (Х²+8х+16)/2. Имеем квадратное уравнение: 4160 = 4Х²+Х²+ 8Х +16 или 5Х² + 8Х - 4144 =0.
Решаем это уравнение и получаем: Х1,2 = [-4±√(16+20720)]/5.
Х = (-4+√20736)/5 = 28см. Второй корень отрицательный - не удовлетворяет условию.
Итак, третья сторона треугольника равна 28+4=32см.
Периметр треугольника равен 28+36+32 = 100см.
ответ: периметр треугольника равен 100см.
Решение в приложенном рисунке.