CosA = 4/√42 ≈ 0,617.
CosB = 2/√30 ≈ 0,365.
CosC = 3/√35 ≈ 0,51.
Объяснение:
Если надо найти КОСИНУСЫ углов, то решение:
CosA = (Xab·Xac+Yab·Yac+Zab·Zac)/(|AB|·|AC|). (формула).
Координаты вектора AB = (0-2;1-(-1);3-1) = (-2;2;2).
Модуль АВ равен |AB| =√((-2)²+2²+2²) = 2√3.
Координаты вектора AC = (-1-2;1-(-1);0-1) = (-3;2;-1).
Модуль АC равен |AC| =√((-3)²+2²+(-1)²) = √14.
CosA =(6+4-2)/(√(12·14) = 8/(2√42) = 4/√42 ≈ 0,617.
∠A ≈ 52°
Аналогично:
CosВ = (Xba·Xbc+Yba·Ybc+Zba·Zbc)/(|BA|·|BC|).
Координаты вектора BA = (2-0;-1-1);1-3) = (2;-2;-2).
Модуль ВA равен |BA| = 2√3.
Координаты вектора BC =(-1-0;1-1);0-3) = (-1;0;-3).
Модуль BC равен |BC| =√((-3)²+2²+(-1)²) = √10.
CosB =(-2+0+6)/(√(12·10) = 4/(2√30) = 2/√30 ≈ 0,365.
∠B ≈ 69° .
CosC = (Xca·Xcb+Yca·Ycb+Zca·Zcb)/(|CA|·|CB|).
Координаты вектора CA = (-1-2;1-(-1);0-3) = (3;-2;1).
Модуль CA равен |CA| = √14.
Координаты вектора CB =(0-(-1);1-1);3-0) = (1;0;3).
Модуль BC равен |CB| =√(1²+0²+3)²) = √10.
CosC =(3+0+3)/(√(14·10) = 6/(2√35) = 3/√35 ≈ 0,51.
∠C ≈ 59°.
Проверка: ∠А +∠В +∠С = 52° + 69° +59° = 180°.
x + 3y + 3 = 0
Стороны:
5x - y - 1 = 0
x - y - 9 = 0
Точка пересечения высот: H(1; -2).
Уравнение высоты, перпендикулярной к прямой 5x - y - 1 = 0:
h1 : (x - 1) + 5(y + 2) = 0; x + 5y + 9 = 0
Вершина, из которой выходит эта высота, есть точка пересечения высоты и стороны x - y - 9 = 0:
{ x + 5y + 9 = 0
{ x - y - 9 = 0
Решаем подстановкой:
{ y = x - 9
{ x + 5(x-9) + 9 = 0
6x - 36 = 0; x = 6; y = -3. A(6; -3).
Уравнение высоты, перпендикулярной к прямой x - y - 9 = 0:
h2 : (x - 1) + (y + 2) = 0; x + y + 1 = 0
Точно также находим точку пересечения высоты и стороны 5x - y - 1 = 0:
{ x + y + 1 = 0
{ 5x - y - 1 = 0
Решаем тоже подстановкой:
{ y = 5x - 1
{ x + 5x - 1 + 1 = 0
6x = 0; x = 0; y = -1. B(0; -1)
Теперь строим уравнение прямой по двум точкам:
(AB) : (x-6)/(0-6) = (y+3)/(-1+3)
(x-6)/(-6) = (y+3)/2
2(x-6) = -6(y+3)
2x - 12 = -6y - 18
2x + 6y + 6 = 0
CosA = 4/√42 ≈ 0,617.
CosB = 2/√30 ≈ 0,365.
CosC = 3/√35 ≈ 0,51.
Объяснение:
Если надо найти КОСИНУСЫ углов, то решение:
CosA = (Xab·Xac+Yab·Yac+Zab·Zac)/(|AB|·|AC|). (формула).
Координаты вектора AB = (0-2;1-(-1);3-1) = (-2;2;2).
Модуль АВ равен |AB| =√((-2)²+2²+2²) = 2√3.
Координаты вектора AC = (-1-2;1-(-1);0-1) = (-3;2;-1).
Модуль АC равен |AC| =√((-3)²+2²+(-1)²) = √14.
CosA =(6+4-2)/(√(12·14) = 8/(2√42) = 4/√42 ≈ 0,617.
∠A ≈ 52°
Аналогично:
CosВ = (Xba·Xbc+Yba·Ybc+Zba·Zbc)/(|BA|·|BC|).
Координаты вектора BA = (2-0;-1-1);1-3) = (2;-2;-2).
Модуль ВA равен |BA| = 2√3.
Координаты вектора BC =(-1-0;1-1);0-3) = (-1;0;-3).
Модуль BC равен |BC| =√((-3)²+2²+(-1)²) = √10.
CosB =(-2+0+6)/(√(12·10) = 4/(2√30) = 2/√30 ≈ 0,365.
∠B ≈ 69° .
CosC = (Xca·Xcb+Yca·Ycb+Zca·Zcb)/(|CA|·|CB|).
Координаты вектора CA = (-1-2;1-(-1);0-3) = (3;-2;1).
Модуль CA равен |CA| = √14.
Координаты вектора CB =(0-(-1);1-1);3-0) = (1;0;3).
Модуль BC равен |CB| =√(1²+0²+3)²) = √10.
CosC =(3+0+3)/(√(14·10) = 6/(2√35) = 3/√35 ≈ 0,51.
∠C ≈ 59°.
Проверка: ∠А +∠В +∠С = 52° + 69° +59° = 180°.
x + 3y + 3 = 0
Объяснение:
Стороны:
5x - y - 1 = 0
x - y - 9 = 0
Точка пересечения высот: H(1; -2).
Уравнение высоты, перпендикулярной к прямой 5x - y - 1 = 0:
h1 : (x - 1) + 5(y + 2) = 0; x + 5y + 9 = 0
Вершина, из которой выходит эта высота, есть точка пересечения высоты и стороны x - y - 9 = 0:
{ x + 5y + 9 = 0
{ x - y - 9 = 0
Решаем подстановкой:
{ y = x - 9
{ x + 5(x-9) + 9 = 0
6x - 36 = 0; x = 6; y = -3. A(6; -3).
Уравнение высоты, перпендикулярной к прямой x - y - 9 = 0:
h2 : (x - 1) + (y + 2) = 0; x + y + 1 = 0
Точно также находим точку пересечения высоты и стороны 5x - y - 1 = 0:
{ x + y + 1 = 0
{ 5x - y - 1 = 0
Решаем тоже подстановкой:
{ y = 5x - 1
{ x + 5x - 1 + 1 = 0
6x = 0; x = 0; y = -1. B(0; -1)
Теперь строим уравнение прямой по двум точкам:
(AB) : (x-6)/(0-6) = (y+3)/(-1+3)
(x-6)/(-6) = (y+3)/2
2(x-6) = -6(y+3)
2x - 12 = -6y - 18
2x + 6y + 6 = 0
x + 3y + 3 = 0