Втреугольнике abc проведена медиана am. точки p на отрезке am и q на стороне ac расположены так, что ap: pm=1: 2, aq: qc=3: 2. докажите, что прямые bp и mq параллельны надо

Координаты точек            

Точка B              Точка M                Точка K                     Точка C  

x y z       x y z        x y z            x y z

-1 2 -5       -3 4 2            0 -2 -3               2 3 -4

Вектор MВ                                      Вектор KС  

x y z                                      x y z

-2 2 7                                   2 5 -1

Модуль (длина)  7,549834435       Модуль (длина)  5,477225575

MВ * m       m = 3                    KС* n      n =  2

-6       6       21                                     4       10      -2

Результат    

MВ*m+KС*n         x     y      z             L

                    -2     16    19      24,91987159.

Боковыми гранями правильной усеченной пирамиды являются равные равнобедренные трапеции. Для нахождения площади боковой поверхности нужно найти высоту этих трапеций.

Проведем из вершин В и В1 оснований пирамиды высоты (медианы) ВН и В1М. В треугольнике АВС т.О - центр вписанной окружности и делит ВН в отношении 2:1, считая от вершины (по свойству медиан). ОН=ВН:3=АВ•sin60°:6. ОH=6•√3:2):3.=√3

Аналогично находим длину МО1 в меньшем основании А1В1С1. Отрезок МО1=(√3)/3.

Из т.М опустим перпендикуляр МК на ОН.

НК= НО-МО1=√3-(√3)/3= (2√3)/3

МК - катет прямоугольного треугольника МКН с гипотенузой МН=НК:cos ∠МНК=[(2√3):3]:1/2=4/√3 .

По т. о 3х- перпендикулярах МН⊥АС и является высотой трапеции АА1С1С.

Площадь боковой поверхности данной пирамиды Ѕ(ус.пир.)=3•Ѕ(АА1С1С)=3•МН•(А1С1+АС):2.

Ѕ(ус.пир.)=3•(4:√3)•8:2=16√3 см²

————

Для нахождения высоты полной пирамиды РАВС, из которой получена данная усеченная пирамида, рассмотрим ∆ РОН и ∆ МНК. Они прямоугольные, имеют общий острый угол при вершине Н, ⇒

∆ РОН ~∆ МНК. k=НО:НК=√3:(2√3)/3=3/2

РО:МК=3/2.

МК=МН•sin60°=(4/√3 )•√3/2=2 см ⇒

PO=3 см