Втреугольнике abc сторона ав = 12, высота сн = 8. в треугольник вписан прямоугольник так, что одна
его сторона лежит на стороне ab, а две вершины — на сторонах ac и bc. найти стороны прямоугольника, если
его периметр равен 19.

ТреугольникВСД, ВД=корень (ВС в квадрате+СД в квадрате)=корень(64+36)=10,   СК-высота на ВД, КД=х, ВК=10-х, СК в квадрате=КД*ВК=х*(10-х) =10х-х в квадрате, треугольник ВСК, СК в квадрате= ВС в квадрате-ВК в квадрате=64-(10-х) в квадрате =64-100+20х-х в квадрате, 10х-х в квадрате = 64-100+20х-х в квадрате, 10х=36, х=3,6=КД, СК в квадрате=3,6*10-3,6*3,6=23,04, СК=4,8, треугольник МСД прямоугольный, КД-высота, КД в квадрате=МК*СК, 12,96=МК*4,8, МК=2,7, площадьАВД=1/2*АВ*АД=1/2*6*8=24, площадьМКД=1/2*МК*КД=1/2*2,7*3,6=4,86, площадьАВКМ=площадьАВД-площадьМКД=24-4,86=19,14

Пусть данный треугольник будет АВС, точка пересечения медиан О.
Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. 
АО=14:3*2=28/3 
СО=18:3*2=12
Медианы делят треугольник на равновеликие треугольники.
Три медианы делят его на 6 равновеликих треугольников. 
Если мы проведем из В к АС еще одну медиану, то
S Δ АОС будет равен 2/6 площади Δ АВС, т.е. 1/3
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторона на синус угла, заключенного между ними. 
Найдем площадь Δ АОС:
S ΔAOC=AO*OC*sin(150°):2=28*12:(3*2*2)=28
S ΔABC=3* S ΔAOC=28*3=84 единиц площади.