Втреугольнике м, n и k -середины сторон ав,вс и ас треугольника , вектор вм=вектору а, вn=вектору b. а)выразите векторы ас, вк,an через векторы а и b. б)докажите с векторов что mn паралельно ас.

Пусть дан равноб тр-к ABC с бок стор AB, BC, высота BD, середина высоты - E
CE пересекает AB в точке F.
DC = 4 (8/2)
ED=3 (6/2)
Тогда прямоуг тр-к DEC - египетский, EC=5.
Опустим из точки F перпендикуляр на AC, который пересечет AC в точке K.
Пусть KD = x
так как KFC подобен DEC(KF||DE, FC-общая), то KF/KC=3/4
тогда KF = 3/4 * (x+4)
AK=4-x (так как AD=AK+KD)
Тр-к AKF подобен ADB => BD/AD=6/4 = KF/AK=> AK = 4/6 KF=1/2 (x+4)=0.5x+2
Тогда AK+KD=4=0.5x+2+x
3/2 x = 2
x=4/3
KC = 4/3+4=5 1/3=16/3
KF = 4
Египетский тр-к KFC имеет коэффициент(3k,4k,5k - стороны тр-ка, k -коэф) 4/3 так как 4/3*3=4; 4/3*4=16/3=5 1/3
Тогда FC = 5*4/3=20/3=6 2/3
ответ: 6 2/3

Треугольник АВС, АС=8, АВ=ВС, ВК -высота на АС=6 =медиане, биссектрисе
ВО=ОК=3, АН - линия через О на ВС, АВ= корень (АК в квадрате + ВК в квадрате) =корень(16+36)=корень52
cosB = (АВ в квадрате+ВС в квадрате - АС в квадрате) / 2 * АВ*ВС=
=(52+52-64)/2*52=0,3846 =67 град
уголАВК=уголКВС=67/2=33,5
АО  в квадрате = АВ в квадрате + ВО в квадрате - 2 * АВ*ВО*cosуглаАВК=
=52+9-2*3*корень52*0,833=61-36=25
АО=5
sinугла АВК = корень (1- cosуглаАВК в квадрате) = корень(1-0,6939)=0,5533
ВО/sinугла ВАО =  АО/sinугла АВК
3/ sinугла ВАО=5/0,5533, sinугла ВАО = 3*0,5533/5=0,3320 = 19,5 град
угол АОВ=180-33,5-19,5=127, угол ВОН=180-127=53, угол ОНВ=180-33,5-53=93,5
ВО/sinугла 93,5 = ОН/sinугла 33,5, 3/0,998=ОН/0,5533
ОН=3*0,5533/0,998=1,7
АН=АО+ОН=5+1,7=6,7