Выберите верные для всех треугольников утверждения.
центр описанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
центр описанной окружности треугольника лежит на пересечении медиан
центр описанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис
центр описанной окружности треугольника лежит внутри него
а) по следствию из теоремы синусов:
a / sin∠A = 2R
sin∠A = a / (2R) = 5/8
По значению синуса угол однозначно определить нельзя, он может быть как острым так и тупым, значит треугольник задан неоднозначно.
б) S = 1/2 · ab·sin∠C
sin∠C = 2S/(ab) = 24 / 30 = 4/5
По значению синуса угол однозначно определить нельзя, он может быть как острым так и тупым, значит треугольник задан неоднозначно.
в) по теореме косинусов:
АС² = BC² + AB² - 2·BC·AB·cos∠ABC
169 = BC² + 64 - 16 · BC · (-1/2)
BC² + 8·BC - 105 = 0
D = 64 + 420 = 484 = 22²
BC = (- 8 + 22)/2 = 7 или BC = (- 8 - 22)/2 = - 15 - не подходит по смыслу задачи
Так как третья сторона находится однозначно, то и треугольник задан однозначно.
1. Пусть ∠А=α; т.к. центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы, то
АО=ВО=СО=R, и ∠А=∠В, как углы при основании равнобедренного ΔАОВ. Тогда ∠АОВ=180°-2∠А=180°-2α
2. Рассмотрим Δ ВОТ, где Т- основание высоты, проведенной к гипотенузе. ∠АОВ для него внешний угол при вершине О, потому равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов ΔАОВ, один из которых по условию равен углу А, это ∠ОВТ=α, а другой ∠ОТВ=90°, тогда используя свойство внешнего угла ∠АОВ=∠ОТВ+∠ОВТ, перепишем последнее равенство так 180-2α=90+α, откуда 3α=180-90; α=90/3=30, Значит,
ОТ= ОВ/2=R/2=0.5R, как катет, лежащий против угла в 30° в прямоугольном ΔВОТ.
Зная теперь АО и ОТ, найдем искомое расстояние АТ=АО+ОТ = R+0.5R=1.5R
ответ 1.5R