Т.к. АВ⊥ВС и СD⊥ВС, то ∠В = ∠С = 90°. Следовательно,
Δ ABQ и ΔCDQ - прямоугольные.
Теорема: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
∠ AQB =∠DQC как вертикальные
ВQ = CQ по условию. Следовательно,
Δ ABQ = ΔCDQ
4.
Соединим т.А и т.С
Получим два треугольника:
ΔАВС и ΔАВD
AB = AD = DC =CD по условию
АС - общая сторона.
ΔАВС= ΔАВD по трем сторонам (3-ий признак равенства Δ-ков). А значит, и
∠В = ∠D
5.
∠BAD = 180° -∠KAF, т.к. ∠BAD и ∠KAF - смежные
∠ВЕС = 180° - ∠LEF, т.к. ∠ВЕС и ∠LEF - смежные.
Но ∠KAF = ∠LEF по условию, следовательно,
∠BAD = ∠ВЕС
ΔABD = ΔEBC по стороне и 2 прилежащим к ней углам (АВ = ВЕ по условию,
∠MKO1 =90 (радиус в точку касания перпендикулярен касательной)
MK =√(O1K*O2K) =√(ab) (высота из прямого угла)
AB =2MK =2√(ab)
Теперь рассмотрим три окружности, для каждой пары выполняется предыдущее условие: касаются внешним образом и общей внешней касательной (c - меньший радиус).
Объяснение:
3.
Т.к. АВ⊥ВС и СD⊥ВС, то ∠В = ∠С = 90°. Следовательно,
Δ ABQ и ΔCDQ - прямоугольные.
Теорема: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
∠ AQB =∠DQC как вертикальные
ВQ = CQ по условию. Следовательно,
Δ ABQ = ΔCDQ
4.
Соединим т.А и т.С
Получим два треугольника:
ΔАВС и ΔАВD
AB = AD = DC =CD по условию
АС - общая сторона.
ΔАВС= ΔАВD по трем сторонам (3-ий признак равенства Δ-ков). А значит, и
∠В = ∠D
5.
∠BAD = 180° -∠KAF, т.к. ∠BAD и ∠KAF - смежные
∠ВЕС = 180° - ∠LEF, т.к. ∠ВЕС и ∠LEF - смежные.
Но ∠KAF = ∠LEF по условию, следовательно,
∠BAD = ∠ВЕС
ΔABD = ΔEBC по стороне и 2 прилежащим к ней углам (АВ = ВЕ по условию,
∠В - общий, ∠BAD = ∠ВЕС), тогда и
∠BDA = ∠BCE.
Рассмотрим две окружности, касающиеся внешним образом.
MK, AB - общие касательные
MA=MK=MB; MO1, MO2 - биссектрисы (т об отрезках касательных из одной точки)
∠O1MO2 =90 (биссектрисы смежных углов перпендикулярны)
∠MKO1 =90 (радиус в точку касания перпендикулярен касательной)
MK =√(O1K*O2K) =√(ab) (высота из прямого угла)
AB =2MK =2√(ab)
Теперь рассмотрим три окружности, для каждой пары выполняется предыдущее условие: касаются внешним образом и общей внешней касательной (c - меньший радиус).
AM =2√(ac)
BM =2√(bc)
AB =2√(ab) =AM+BM
=> √(ab) =√(ac) +√(bc) | :√(abc)
=> 1/√c = 1/√a + 1/√b
Два случая:
1) x - меньший радиус
1/√x =1/√4 +1/√9 => 1/√x =1/2 +1/3 =5/6 => x=36/25 =1,44
2) 4 - меньший радиус
1/√4 =1/√x +1/√9 => 1/√x =1/2 -1/3 =1/6 => x=36