Объём конуса V=1/3*π*R²*H, где R и H - радиус основания и высот конуса. По теореме Пифагора, R²+H²=L², где L - длина образующей конуса. Отсюда R²=L²-H² и тогда V(H)=1/3*π*H*(L²-H²)=1/3*π*(H*L²-H³). Находим производную V'(H)=1/3*π*(L²-3*H²) и приравниваем её к нулю. Отсюда следует уравнение L²=3*H², или H=L/√3. Если H<L/√3, то V'(H)>0, если H>L/√3, то V'(H)<0. Так как при переходе через точку H=L/√3 производная V'(H) меняет знак с + на -, то эта точка является точкой максимума функции V(H), и тогда наибольший объём конуса Vmax=1/3*π*(L³/√3-L³/[3*√3])=2*π*L³/(9*√3). И так как по условию L=10,2 см, то Vmax≈78,6*π*√3 см³.
ответ: Vmax≈78,6*π*√3 см³.
Объяснение:
Объём конуса V=1/3*π*R²*H, где R и H - радиус основания и высот конуса. По теореме Пифагора, R²+H²=L², где L - длина образующей конуса. Отсюда R²=L²-H² и тогда V(H)=1/3*π*H*(L²-H²)=1/3*π*(H*L²-H³). Находим производную V'(H)=1/3*π*(L²-3*H²) и приравниваем её к нулю. Отсюда следует уравнение L²=3*H², или H=L/√3. Если H<L/√3, то V'(H)>0, если H>L/√3, то V'(H)<0. Так как при переходе через точку H=L/√3 производная V'(H) меняет знак с + на -, то эта точка является точкой максимума функции V(H), и тогда наибольший объём конуса Vmax=1/3*π*(L³/√3-L³/[3*√3])=2*π*L³/(9*√3). И так как по условию L=10,2 см, то Vmax≈78,6*π*√3 см³.