В
Все
М
Математика
А
Английский язык
Х
Химия
Э
Экономика
П
Право
И
Информатика
У
Українська мова
Қ
Қазақ тiлi
О
ОБЖ
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
У
Українська література
М
Музыка
П
Психология
А
Алгебра
Л
Литература
Б
Биология
М
МХК
О
Окружающий мир
О
Обществознание
И
История
Г
Геометрия
Ф
Французский язык
Ф
Физика
Д
Другие предметы
Р
Русский язык
Г
География
Sofiya11111111111111
Sofiya11111111111111
16.03.2022 23:26 •  Геометрия

Выполните построение, выясните взаимное расположение двух окружностей, заданных уравнений: (х - 5)2 + (у - 3)2 = 4 и
(х - 2)2 + (у + 1)2 = 9.

Показать ответ
Ответ:
mashacat5571
mashacat5571
05.04.2022 18:33

На первом вложенном файле приведено доказательство формулы длины биссектрисы 

l = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c); (здесь, и далее в таких случаях В - это угол АВС)

Эта формула нам понадобится. Второй вложенный файл - это чертеж к задаче.

  

По условию

5/6 = МК/СК = МВ/СВ = (АВ/ВС)/2; 

АВ/ВС = 10/6 = 5/3.

Поэтому треугольник "египетский", подобный (3,4,5).

Без ограничения общности принимаем длину меньшего катета ВС за 3, тогда АС = 4, АВ = 5; (это просто я выбрал единицу длины, отношение LK/BK от такого выбора не зависит, конечно же).

Используя формулу длины биссектрисы для равнобедренного треугольника ВМС (ВМ = МС = с/2, с - гипотенуза АВС, то есть с = АВ, и заодно a = BC, b = AC для краткости записи), получим

ВК = 2*a*(c/2)*cos(B/2)/(a + c/2) = 2*a*c*cos(B/2)/(2*a + c);

Аналогично для треугольника АВС

BL = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c);

Делим одно на другое, получаем

ВК/BL = (a + c)/(2*a + c);

Дальше - очень простые выкладки (я намеренно не подставляю числа)

ВК = BL*(a + c)/(2*a + c); KL = BL - BK = BL*(1 - (a + c)/(2*a + c)) = BL*a/(2*a + c);

KL/BK = a/(a + c); 

При а = 3; c = 5; KL/BK = 3/8;

 

Примечание. То, что треугольник "египетский", на решение совершенно не влияет. На самом деле существенно только то, что он прямоугольный, так как в этом случае СМ = с/2. 

В задаче задано отношение k = 5/6 = МК/СК = ВМ/BC = c/(2*a); то есть c/a = 2*k;

Далее в решении получено соотношение KL/BK = a/(a + c); легко привести это к виду

KL/BK = 1/(2*k + 1);

при к = 5/6; KL/BK = 1/(2*(5/6) + 1) =  1/(8/3) = 3/8; 

 

В качестве примера я возьму треугольник (5,12,13) - это тоже прямоугольный треугольник.  Я принимаю, что a = 5; (можно взять в качестве a другой катет, получится другой результат).

Тогда 2*k = 13/5; k = МК/СК = 13/10;

KL/BK = 1/(2*k + 1) = 1/(13/5 + 1) = 5/18;

Так что особенность тр-ка АВС в решении данной задачи никакой роли не играет - я получил общее решение для произвольного k = МК/СК.

 

 

 


Треугольник авс - прямоугольный с прямым углом с. биссектриса bl и медиана см пересекаются в точке к
0,0(0 оценок)
Ответ:
1882
1882
22.05.2021 06:40

Сначала как раз про уравнения. Чтобы было понятно, в чем тут китайская хитрость.

Смотрите чертеж, левый рисунок. a = 900; b = 300; z = x/a; t = b/a;

В общем случае задача сводится к кубическому уравнению (раз просили - без уравнений, то и не буду я показывать, как это получается).

z^2*(z + t) = 4*t;

здесь по условию t = 1/3;

z^2*(z + 1/3) = 4/3; 

Невооруженным глазом видно, что уравнение имеет корень z = 1; если кому-то не лень - проверьте, что другие корни не вещественные.

(Есть и более важная задача - при каких целых t уравнение имеет целые корни.)

 

Вот теперь, зная наперед китайские хитрости, я "покажу", как "найти" это решение геометрически. (Сразу предупреждаю, что все дальнейшее - плод 15минутного размышления :))), набрать и нарисовать было дольше.)

1). Берем квадрат и на одной из сторон как на диаметре, построим полуокружность. Из вершины противоположной стороны проведем касательную, и продолжим её до пересечения с продолжением стороны. Очень просто показать, что все условия задачи (t = 1/3) выполнены (раз уж вы просили без, вычислений  я опять не привожу, но сразу говорю - они не выходят за рамки теоремы Пифагора). Таким образом, мы показали, что поперечник города равен 900. (ну, понятно же, если еще не сообразили - от северных ворот на юг откладываем 900, проводим перпендикуляр, точку соединяем с "точкой видимости", и получаем "еще одно дерево",  и "еще одину окружность". Но дерево только одно, поэтому полученная точка совпадает с южными воротами).

2). Есть и другой, не менее изящный геометрический решения". Он основан на том приятном факте, что образованный треугольник - "египетский". (Здесь, между прочим, возникает уже совсем интересная задача - есть ли такие параметры t, дающие целочисленное решение, помимо тех, что приводят к Пифагоровым треугольникам. Впрочем, её решение очевидно отрицательное.)

В треугольнике со сторонами (3,4,5) разность между катетами составляет как раз 1/3 от меньшего катета. Но нужно еще доказать вот что - если на катете длины 4 "египетского" треугольника отложить от вершины прямого угла 3 и на этом отрезке, как на диаметре, построить окружность, то он коснется гипотенузы. Даказательство этого приведено на третьем рисунке и основано на подобии исходного треугольника и треугольника, "в который вписывается" построенная окружность, а также на том факте, что для "египетского" треугольника радиус вписанной окружности равен 1. Легко видеть, что поперечник города х равен диаметру окружности, вписанной в "египетский" треугольник "в масштабе 3/2", то есть 3. Поэтому вписаная в достроенный треугольник AB'C' окружность совпадает с городской стеной.

(Можно и "дедовскими Центр этой окружности лежит на расстоянии 3/2 от точки В, то есть на расстоянии 4 - 3/2 = 5/2 от точки С, и вместе с расстоянием до АС и отрезком АС от С до точки касания, образует треугольник, подобный "египетскому", то есть его стороны (3/2, 2, 5/2). Легко видеть, что расстояние от центра до АС как раз равно радиусу 3/2.)

Вот собственно и всё. Хитрый китаец Цинь Цзю-шао, живший в 13-м веке (с ума сойти, что знали уже тогда хитрые китайцы), просто отмерил вглубь города от южных ворот утроенное расстояние от точки видимости до этих ворот, тот есть 900 шагов, и попал на северные ворота по только что доказанному свойству "египетского" треугольника. 


А вот уже настоящий вопрос. Почему я все слова "решение", "доказательство" и прочее, беру в кавычки? Да потому, что все это - не что иное, как подбора решения с последующим геометрическим обоснованием. Конечно, от этого такие решения не становятся не верными. Но в них есть один существенный изъян, который невозможно преодолеть "чисто геометрически". Это - единственность решения. Её доказать не получится таким Только алгебраически. Если вам скажут, что такой есть - можете умно покивать головой и посмеяться про себя :))) (если вы - воспитаный человек, конечно, для невоспитаных  я рецептов не даю :))


Китайский цинь цзю-шао, живший в 13-м веке, предложил такую . условие : город обнесен по кругу стено
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Геометрия
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота