Высота правильной четырехугольной пирамиды pmnkl (p- вершина) равна 8, угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60°. найдите объём пирамиды и величину угла между диагональю km и гранью pkl.
Дано: - пирамида PMNKL (Р- вершина), - её высота Н равна 8, - угол α между боковой гранью и плоскостью основания равен 60°.
1) Найти объём пирамиды Находим сторону а основания: а = 2*(Н/tg α) = 2*(8/√3) = 16/√3. Площадь основания So = a² = 256/3. Объём пирамиды: V = (1/3)So*H = (1/3)*(256/3)*8 = 2048/9 ≈ 227,5556.
2) Найти величину угла между диагональю KM и гранью PKL. Для этого надо спроецировать КМ на грань PKL, то есть провести плоскость, проходящую через отрезок КМ перпендикулярно плоскости PKL. Затем найти угол между диагональю КМ и её проекцией на грань PKL. Удобнее всего спроецировать точку О (это основание высоты РО пирамиды и середина диагонали КМ). Проведём осевую секущую плоскость перпендикулярно ребру основания KL. В сечении получим равнобедренный треугольник EPQ с высотой РО = Н. Из точки О опустим перпендикуляр OU на PQ. Отрезок QU, как лежащий против угла в (90-60=30°) равен половине OQ, то есть QU = (a/2)/2 = а/4 = 16/(4√3) = 4/√3. Теперь перенесём этот отрезок в плоскость грани KPL на апофему PQ. Апофема A = PQ = H/(sin 60°) = 8/(√3/2) = 16/√3. Отсюда видим, что апофема A равна ребру а основания. Поэтому угол между боковым ребром и ребром основания равен: <PLK = arc tg (a/(a/2)) = arc tg 2 = 63,43495°. Угол UKL = arc tg((4/√3)/(8/√3)) = arc tg (1/2) = 26,56505°. Если продлить отрезок KU до пересечения с боковым ребром PL в точке Т, то получим треугольник KTL с двумя известными углами при ребре основания а и самим ребром а. Угол KTL = 180°-63,43495°-26,56505° = 90°. Находим длину КТ = KL*sin (<KLT) =a*(A/L) = a²/L (L - это боковое ребро). L = √(A² + (a/2)²) = √((256/3)+(64/3)) = √(320/3). KT = (256/3)/(√(320/3)) = 256/√960 = 256/(8√(15) = 32/√15. Теперь находим искомый угол TKM из равнобедренного треугольника KTM по теореме косинусов: a b c p 2p S 8,26236447 13,063945 8,2623645 14,794337 29,58867424 33,04945789 68,2666667 170,66667 68,266667 6,53197265 1,7303918 6,5319726 73,830051 1092,266667 33,04945789 cos A = 0,7905694 cos B = -0,25 cos С = 0,790569415 Аrad = 0,659058 Brad = 1,8234766 Сrad = 0,659058036 Аgr = 37,761244 Bgr = 104,47751 Сgr = 37,76124391
- пирамида PMNKL (Р- вершина),
- её высота Н равна 8,
- угол α между боковой гранью и плоскостью основания равен 60°.
1) Найти объём пирамиды
Находим сторону а основания:
а = 2*(Н/tg α) = 2*(8/√3) = 16/√3.
Площадь основания So = a² = 256/3.
Объём пирамиды: V = (1/3)So*H = (1/3)*(256/3)*8 = 2048/9 ≈ 227,5556.
2) Найти величину угла между диагональю KM и гранью PKL.
Для этого надо спроецировать КМ на грань PKL, то есть провести плоскость, проходящую через отрезок КМ перпендикулярно плоскости PKL. Затем найти угол между диагональю КМ и её проекцией на грань PKL.
Удобнее всего спроецировать точку О (это основание высоты РО пирамиды и середина диагонали КМ).
Проведём осевую секущую плоскость перпендикулярно ребру основания KL. В сечении получим равнобедренный треугольник EPQ с высотой РО = Н.
Из точки О опустим перпендикуляр OU на PQ.
Отрезок QU, как лежащий против угла в (90-60=30°) равен половине OQ, то есть QU = (a/2)/2 = а/4 = 16/(4√3) = 4/√3.
Теперь перенесём этот отрезок в плоскость грани KPL на апофему PQ.
Апофема A = PQ = H/(sin 60°) = 8/(√3/2) = 16/√3.
Отсюда видим, что апофема A равна ребру а основания.
Поэтому угол между боковым ребром и ребром основания равен:
<PLK = arc tg (a/(a/2)) = arc tg 2 = 63,43495°.
Угол UKL = arc tg((4/√3)/(8/√3)) = arc tg (1/2) = 26,56505°.
Если продлить отрезок KU до пересечения с боковым ребром PL в точке Т, то получим треугольник KTL с двумя известными углами при ребре основания а и самим ребром а.
Угол KTL = 180°-63,43495°-26,56505° = 90°.
Находим длину КТ = KL*sin (<KLT) =a*(A/L) = a²/L (L - это боковое ребро).
L = √(A² + (a/2)²) = √((256/3)+(64/3)) = √(320/3).
KT = (256/3)/(√(320/3)) = 256/√960 = 256/(8√(15) = 32/√15.
Теперь находим искомый угол TKM из равнобедренного треугольника KTM по теореме косинусов:
a b c p 2p S 8,26236447 13,063945 8,2623645 14,794337 29,58867424 33,04945789 68,2666667 170,66667 68,266667 6,53197265 1,7303918 6,5319726 73,830051 1092,266667 33,04945789 cos A = 0,7905694 cos B = -0,25 cos С = 0,790569415 Аrad = 0,659058 Brad = 1,8234766 Сrad = 0,659058036 Аgr = 37,761244 Bgr = 104,47751 Сgr = 37,76124391
ответ: угол ТКМ = 37,761244°.