Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 103–√ см, а сторона основания равна 20 см. Вычисли двугранный угол при основании.

См. рисунок. По условию основание a = 32; отрезок c = 14; надо найти b.
Так как отрезок с проходит через точку пересечения перпендикуляров к сторонам, то равны отмеченные на рисунке буквой α углы.
Отрезок высоты от вершины до точки пересечения высот я отметил буквой H, а от точки пересечения высот до основания - буквой h. Вся высота равна H + h, разумеется.
tg(α) = h/(a/2);
tg(α) = (c/2)/H;
tg(α) = (a/2)/(H + h);
по идее этих трех соотношений должно хватить, чтобы найти H + h;
Если исключить tg(α), получится
2h/a = c/(2H);
c/H = a/(H + h);
или
4Hh = ac;
c(H + h) = aH; => H = hc/(a - c); => H + h = ha/(a -c);
Получилось h^2 = a(a - c)/4; и H + h = (a/2)√(a/(a - c));
b^2 = (H + h)^2 + (a/2)^2 = (a/2)^2*(1 + a/(a - c)) =  (a/2)^2*(2a - c)/(a - c);
Это ответ. Если подставить a = 32; c = 14; то получится
b^2 = 16^2*50/18 = 16^2*25/9 = (80/3)^2;
b = 80/3;

Объяснение:

треугольник является прямоугольным, когда выполняется теорема Пифагора. Заменим a^4 = t; b^4 = m; c^4 = n;

2(t² + m² + n²) = (t + m + n)²

2t² + 2m² + 2n² = t² + m² + n² + 2tm + 2tn + 2mn

t² + m² + n² - 2tm - 2tn - 2mn = 0

(t-m)² + n² - 2tn - 2mn = 0

n² - 2n(t + m) + (t - m)² = 0

D/4 = (t+m)² - (t-m)² = 4mt ⇒ √D/2 = 2√(mt)

n = t + m ± 2√(mt) = (√t ± √m)²

Вернемся к замене:

c^4 = (√(a^4) ± √(b^4))²

c^4 = (a² ± b²)²

c² = | a² ± b² |

Возьмем знак "+", получим теорему Пифагора, что и требовалось доказать.