Задача 1 Обозначим гипотенузу АВ через х, тогда длинна катета АС = х - 8, а длинна второго катета ВС = х - 1 Раз тр. ABC прямоугольный верным будет равенство AB^2 = AC^2 + DC^2 x^2 = (x-8)^2 + (x-1)^2 x^2 = 2x^2 - 18x + 65 найдем корни этого уравнения х1 = 5; х2 = 13 Гипотенуза не может равняться х1 = 5, так как длина одного из катетов АС = 5 - 8 = -3 будет отрицательным числом, значит АВ = х2 = 13 см Задача 2 Обозначим гипотенузу через х, тогда длинна первого катета = х - 8, а длинна второго катета = х - 1 Верным будет равенство x^2 = (x-8)^2 + (x-1)^2 x^2 = 2x^2 - 18x + 65 найдем корни этого уравнения х1 = 5; х2 = 13 Гипотенуза не может равняться х1 = 5, так как длина одного из катетов АС = 5 - 8 = -3 будет отрицательным числом, значит гипотенуза = х2 = 13 см тогда первый катет = 13 - 8 = 5 см а второй = 13 - 1 = 12 см Площадь = 5*12/2 = 30 см^2
Треугольники МВС и АМР подобны, и ВС/AP = 1/2; => CM/AM = 1/2; откуда AM = 2*CM; AC = AM + CM = 2*CM + CM = 3*CM; СМ = AC/3; подобны и треугольники ВОС и AOD, и CO/OA = BC/AD = 1/4; то есть AO = 4*CO; AC = AO + OC = 4*OC + OC = 5*AC; CO = AC/5; отсюда MO = CM - CO = AC*(1/3 - 1/5) = AC*2/15; Точно так же показывается, что NO = BD*2/15; (ясно, что BO = DO/4; откуда BD = BО +OD = BO + 4*BO = 5*BO; а из подобия треугольников BNC и PMD => BN/ND = BC/PD = 1/2; ND = 2*BN; BD = ND + BN = 3*BN; далее ON = BN - BO = BD*(1/3 - 1/5) = BD*2/15); Если провести CК II BD, точка К лежит на продолжении AD, то BDKC – параллелограмм, и CK = BD; и угол AOD = угол ACK; треугольник ACK подобен треугольнику MON, потому что соответственные стороны пропорциональны (NO = BD*2/15 = CK*2/15; MO = AC*2/15, угол AOD = угол ACK). Коэффициент подобия равен 2/15. Поскольку AK = AD + BC, площадь треугольника ACK равна h*(AD + BC)/2, где h – расстояние от С до AD, то есть – высота трапеции ABCD и треугольника ACK (словами это можно выразить так - у трапеции и построенного треугольника "общая" высота и равные средние линии). То есть площадь ACK равна площади трапеции S. Стороны относятся, как 2/15, значит, площади, как (2/15)^2; Отсюда площадь MON равна S*(2/15)^2 = 50*4/225 = 8/9;
Обозначим гипотенузу АВ через х, тогда длинна катета АС = х - 8, а длинна второго катета ВС = х - 1
Раз тр. ABC прямоугольный верным будет равенство AB^2 = AC^2 + DC^2
x^2 = (x-8)^2 + (x-1)^2
x^2 = 2x^2 - 18x + 65 найдем корни этого уравнения
х1 = 5; х2 = 13
Гипотенуза не может равняться х1 = 5, так как длина одного из катетов АС = 5 - 8 = -3 будет отрицательным числом, значит АВ = х2 = 13 см
Задача 2
Обозначим гипотенузу через х, тогда длинна первого катета = х - 8, а длинна второго катета = х - 1
Верным будет равенство x^2 = (x-8)^2 + (x-1)^2
x^2 = 2x^2 - 18x + 65 найдем корни этого уравнения
х1 = 5; х2 = 13
Гипотенуза не может равняться х1 = 5, так как длина одного из катетов АС = 5 - 8 = -3 будет отрицательным числом, значит гипотенуза = х2 = 13 см
тогда первый катет = 13 - 8 = 5 см
а второй = 13 - 1 = 12 см
Площадь = 5*12/2 = 30 см^2
подобны и треугольники ВОС и AOD, и CO/OA = BC/AD = 1/4; то есть AO = 4*CO; AC = AO + OC = 4*OC + OC = 5*AC; CO = AC/5;
отсюда MO = CM - CO = AC*(1/3 - 1/5) = AC*2/15;
Точно так же показывается, что NO = BD*2/15; (ясно, что BO = DO/4; откуда BD = BО +OD = BO + 4*BO = 5*BO; а из подобия треугольников BNC и PMD => BN/ND = BC/PD = 1/2; ND = 2*BN; BD = ND + BN = 3*BN; далее ON = BN - BO = BD*(1/3 - 1/5) = BD*2/15);
Если провести CК II BD, точка К лежит на продолжении AD, то BDKC – параллелограмм, и CK = BD; и угол AOD = угол ACK;
треугольник ACK подобен треугольнику MON, потому что соответственные стороны пропорциональны (NO = BD*2/15 = CK*2/15; MO = AC*2/15, угол AOD = угол ACK). Коэффициент подобия равен 2/15.
Поскольку AK = AD + BC, площадь треугольника ACK равна h*(AD + BC)/2, где h – расстояние от С до AD, то есть – высота трапеции ABCD и треугольника ACK (словами это можно выразить так - у трапеции и построенного треугольника "общая" высота и равные средние линии).
То есть площадь ACK равна площади трапеции S.
Стороны относятся, как 2/15, значит, площади, как (2/15)^2;
Отсюда площадь MON равна S*(2/15)^2 = 50*4/225 = 8/9;
задача уже несколько раз была