Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 6 см, а само основание равно 16 см. Найдите: а) радиус вписанной в треугольник окружности; б)* радиус описанной около треугольника окружности.

Провести среднюю линию и разрезать по ней треугольник. 

Получатся равнобедренная трапеция и равносторонний треугольник. 

Разрезав треугольник по высоте, получим два прямоугольных треугольника с углами, равными 30° и 60°. 

Половинки приложим равными сторонами ( гипотенузами) к боковым сторонам трапеции. Они совместятся. т.к. гипотенузы равны половине стороны треугольника. 

Сумма углов при основании трапеции равна 60°+30°=90°. 

В получившемся четырехугольнике все углы прямые, его длина равна стороне исходного треугольника, а ширина - половине его высоты.  

А и b - основания, a>b, h и с - боковые стороны, h<c, R=9, S=432.
b=?

Высота трапеции равна диаметру окружности. h=2R=18.
Площадь трапеции S=h(a+b)/2 ⇒ (a+b)=2S/h=2·432/18=48.
B описанной трапеции h+с=a+b ⇒ с=a+b-c=48-18=30.
Опустим высоту на большее основание из тупого угла трапеции. Она разбивает это основание на два отрезка, один из которых равен меньшему основанию, а другой (х) образует прямоугольный треугольник вместе с наклонной боковой стороной и высотой.
х²=с²-h²=30²-18²=576,
x=24.
a=b+x=b+24.

a+b=48,
b+24+b=48,
2b=24,
b=12 - это ответ.