Высота прямоугольного тре- угольника делит его гипотенузу в от-
ношении 9:16. Найдите площадь это-
го треугольника, если данная высота
равна 3.
​

Сумма углов параллелограмма прилегающих к любой стороне равна 180°
∠DAB+∠CDA =180°
∠CDA= 180°-60° =120°
∠BDA= 120°·3/4 =90°

Высота равностороннего треугольника: h= (√3/2)a
BD= AB·√3/2 <=> AB= BD·2/√3
AB= 8√3·2/√3 =16

Сумма углов треугольника равна 180°
∠ABD= 180°-60°-90° =30°
Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.
AD= AB/2
AD= 16/2 =8

P= 2(AB+AD)
P= 2(16+8) =48

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
OD= BD/2
OD= 8√3/2 =4√3
AO= √(AD^2 + OD^2)
AO= √(64 + 3·16) =√112 =4√7
AC= 2AO
AC= 2·4√7 =8√7 (~21.17)

На чертеже цифрами 1,2,3,4,5,6 я обозначил маленькие треугольнички, на которые разбивают исходный треугольник три медианы. Рассмотрим, например, медиану, опущенную из угла А. Она разбивает исходный треугольник на две тройки треугольников: 1,2,6 и 3,4,5. Поскольку площадь треугольника это половина произведения высоты на основание, треугольники 5 и 6 равновелики. По той же причине сумма площадей треугольников 1,2,6 и 3,4,5 тоже равны. А значит равны и суммы площадей 1,2 и 3,4. Но это треугольники АОБ и АОС. Значит они равновелики.
Так же доказывается и равенство площади треугольника БОС.