Боковыми гранями правильной усеченной пирамиды являются равные равнобедренные трапеции. Для нахождения площади боковой поверхности нужно найти высоту этих трапеций.
Проведем из вершин В и В1 оснований пирамиды высоты (медианы) ВН и В1М. В треугольнике АВС т.О - центр вписанной окружности и делит ВН в отношении 2:1, считая от вершины (по свойству медиан). ОН=ВН:3=АВ•sin60°:6. ОH=6•√3:2):3.=√3
Аналогично находим длину МО1 в меньшем основании А1В1С1. Отрезок МО1=(√3)/3.
По т. о 3х- перпендикулярах МН⊥АС и является высотой трапеции АА1С1С.
Площадь боковой поверхности данной пирамиды Ѕ(ус.пир.)=3•Ѕ(АА1С1С)=3•МН•(А1С1+АС):2.
Ѕ(ус.пир.)=3•(4:√3)•8:2=16√3 см²
————
Для нахождения высоты полной пирамиды РАВС, из которой получена данная усеченная пирамида, рассмотрим ∆ РОН и ∆ МНК. Они прямоугольные, имеют общий острый угол при вершине Н, ⇒
А1 С1 В1 Точки В1, С1, А1 принадлежат прямой l. Это точки касания. ВВ1=в, АА1=а С2 С C3 Проводим перпендикуляр СС2 на АА1. СА=а+с, АС2=а-с. Из тр-ка АС2С B2 В CC2^2=(a+c)^2+(a-c)^2=a^2+2ac+c^2-a^2+2ac- -c^2=4ac. CC2=A1C1. Аналогично из тр-ка СС3В CC3^2=bc. CC3=CB1. Из тр-ка АВВ2 А где АВ=a+b, AB2=a-b BB2^2=4ab. BB2=A1B1
Боковыми гранями правильной усеченной пирамиды являются равные равнобедренные трапеции. Для нахождения площади боковой поверхности нужно найти высоту этих трапеций.
Проведем из вершин В и В1 оснований пирамиды высоты (медианы) ВН и В1М. В треугольнике АВС т.О - центр вписанной окружности и делит ВН в отношении 2:1, считая от вершины (по свойству медиан). ОН=ВН:3=АВ•sin60°:6. ОH=6•√3:2):3.=√3
Аналогично находим длину МО1 в меньшем основании А1В1С1. Отрезок МО1=(√3)/3.
Из т.М опустим перпендикуляр МК на ОН.
НК= НО-МО1=√3-(√3)/3= (2√3)/3
МК - катет прямоугольного треугольника МКН с гипотенузой МН=НК:cos ∠МНК=[(2√3):3]:1/2=4/√3 .
По т. о 3х- перпендикулярах МН⊥АС и является высотой трапеции АА1С1С.
Площадь боковой поверхности данной пирамиды Ѕ(ус.пир.)=3•Ѕ(АА1С1С)=3•МН•(А1С1+АС):2.
Ѕ(ус.пир.)=3•(4:√3)•8:2=16√3 см²
————
Для нахождения высоты полной пирамиды РАВС, из которой получена данная усеченная пирамида, рассмотрим ∆ РОН и ∆ МНК. Они прямоугольные, имеют общий острый угол при вершине Н, ⇒
∆ РОН ~∆ МНК. k=НО:НК=√3:(2√3)/3=3/2
РО:МК=3/2.
МК=МН•sin60°=(4/√3 )•√3/2=2 см ⇒
PO=3 см
Это точки касания. ВВ1=в, АА1=а
С2 С C3 Проводим перпендикуляр СС2 на АА1.
СА=а+с, АС2=а-с. Из тр-ка АС2С
B2 В CC2^2=(a+c)^2+(a-c)^2=a^2+2ac+c^2-a^2+2ac-
-c^2=4ac. CC2=A1C1. Аналогично из тр-ка
СС3В CC3^2=bc. CC3=CB1. Из тр-ка АВВ2
А где АВ=a+b, AB2=a-b BB2^2=4ab. BB2=A1B1
A1B1=A1C1+C1B1. 2Vab=2Vac+2Vbc Vab=Vac+Vbc=Vc(Va+Vb) 1/Va+1/Vb=1/Vc
1/V36+1/V16=1/Vc 1/6+1/4=1/Vc Vc=2,4 c=5,76
ответ: радиус окружности 5,76