Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда призма - прямая, а около её оснований можно описать окружность.
Шар описан около призмы, значит, призма прямая, все её вершины лежат на поверхности шара.
Плоскость каждого из оснований призмы пересекает сферу по окружности, описанной около основания.
Поскольку основания - правильные треугольники, радиус такой окружности равен 2/3 высоты ∆ АВС=а/√3=5 см.
Отрезок КМ, соединяющий центры окружностей, описанных около оснований призмы, параллелен боковому ребру и равен ему. Центр сферы лежит на середине О этого отрезка.
Соединим О с А и К. Т.к. КМ перпендикулярен основаниям призмы, треугольник АКО прямоугольный.
По т.Пифагора КО=√(AO²-AK²)=√(13*-5²)=12 см
АА1=КМ=2КО=24 см
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению её высоты на периметр основания.
Определение. Параллелограмм - это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).
Параллелограммы отличаются между собой как размером прилегающих сторон, так и углами, однако противоположные углы одинаковые.
Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон:
AB||CD, BC||AD
2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:
AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)
3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:
AB = CD, BC = AD
4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны:
∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA
5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:
AO = OC, BO = OD
6. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°:
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
7. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:
AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2
Основные свойства параллелограмма
Квадрат, прямоугольник и ромб - есть параллелограммом.
1. Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:
AB = CD, BC = AD
2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Противоположные углы параллелограмма одинаковые:
∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB
4. Сумма углов параллелограмма равна 360°:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
5. Сумма углов параллелограмма прилегающих к любой стороне равна 180°:
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
6. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника
7. Две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников
8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:
AO = CO = d1
2
BO = DO = d2
2
9. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма
10. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:
AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2
11. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны
12. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)
Стороны параллелограмма
Формулы определения длин сторон параллелограмма:
1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:
a = √d12 + d22 - 2d1d2·cosγ 2 = √d12 + d22 + 2d1d2·cosδ 2
b = √d12 + d22 + 2d1d2·cosγ 2 = √d12 + d22 - 2d1d2·cosδ 2
2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:
a = √2d12 + 2d22 - 4b2
2
b = √2d12 + 2d22 - 4a2
2
3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:
a = hb
sin α
b = ha
sin α
4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:
a = S
ha
b = S
hb
Диагонали параллелограмма
Определение. Диагональю параллелограмма называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.
Параллелограмм имеет две диагонали - длинную d1, и короткую - d2
Формулы определения длины диагонали параллелограмма:
1. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла β (по теореме косинусов)
d1 = √a2 + b2 - 2ab·cosβ
d2 = √a2 + b2 + 2ab·cosβ
2. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла α (по теореме косинусов)
d1 = √a2 + b2 + 2ab·cosα
d2 = √a2 + b2 - 2ab·cosα
3. Формула диагонали параллелограмма через две стороны и известную другую диагональ:
d1 = √2a2 + 2b2 - d22
d2 = √2a2 + 2b2 - d12
4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:
d1 = 2S = 2S
d2·sinγ d2·sinδ
d2 = 2S = 2S
d1·sinγ d1·sinδ
Периметр параллелограмма
Определение. Периметром параллелограмма называется сумма длин всех сторон параллелограмма.
Формулы определения длины периметра параллелограмма:
1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:
P = 2a + 2b = 2(a + b)
2. Формула периметра параллелограмма через одну сторону и две диагонали:
P = 2a + √2d12 + 2d22 - 4a2
P = 2b + √2d12 + 2d22 - 4b2
3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:
P = 2(b + hb )
sin α
P = 2(a + ha )
sin α
Площадь параллелограмма
Определение. Площадью параллелограмма называется ограниченный сторонами параллелограмма, т.е. в пределах периметра параллелограмма.
Формулы определения площади параллелограмма:
1. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту, проведенную к этой стороне:
S = a · ha
S = b · hb
2. Формула площади параллелограмма через две стороны и синус угла между ними:
S = ab sinα
S = ab sinβ
3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:
S = 1 d1d2 sin γ
2
S = 1 d1d2 sin δ
2
Объяснение:
Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда призма - прямая, а около её оснований можно описать окружность.
Шар описан около призмы, значит, призма прямая, все её вершины лежат на поверхности шара.
Плоскость каждого из оснований призмы пересекает сферу по окружности, описанной около основания.
Поскольку основания - правильные треугольники, радиус такой окружности равен 2/3 высоты ∆ АВС=а/√3=5 см.
Отрезок КМ, соединяющий центры окружностей, описанных около оснований призмы, параллелен боковому ребру и равен ему. Центр сферы лежит на середине О этого отрезка.
Соединим О с А и К. Т.к. КМ перпендикулярен основаниям призмы, треугольник АКО прямоугольный.
По т.Пифагора КО=√(AO²-AK²)=√(13*-5²)=12 см
АА1=КМ=2КО=24 см
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению её высоты на периметр основания.
S=24•3•5√3=360√3 см²