Если соединить центры окружностей, получится равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС = 4 и боковыми сторонами АС = АВ =3. Центры обеих окружностей (не заданных, а которые надо найти) лежат на оси симметрии этого треугольника, то есть на высоте к основанию АМ, где М - середина ВС. Заранее неизвестно, различные это точки или нет. Сразу замечу, что АМ = √5; 1. Если окружность радиуса R с центром в точке О (лежащем на упомянутой высоте :) ) касается внешне всех трех окружностей, то точки касания лежат на соответствующих линиях центров, то есть на прямых ОА, ОВ и ОС. Отсюда OA = R - 1; OB = OC = R - 2; То есть в треугольнике АВС на высоте АМ = √5 надо найти точку О, такую, что ОА = R - 1; OB = R - 2; и заодно найти R. Ясно, что МО = АМ - ОА = √5 - (R - 1); OB = (R - 2); BM = 2; и MO^2 + MB^2 = OB^2; то есть (√5 + 1 - R)^2 + 2^2 = (R - 2)^2; это даже не квадратное уравнение - члены с R^2 сокращаются. R = (√5 + 1)^2/(2*(√5 - 1)) = (√5 + 1)^3/8 = √5 + 2; интересно, что О лежит СНАРУЖИ АВС. 2. Если окружность радиуса r с центром в точке О1 (лежащем на упомянутой высоте :) ) касается внутренне всех трех окружностей, то точки касания лежат на соответствующих линиях центров, то есть на прямых О1А, О1В и О1С. Отсюда O1A = r + 1; O1B = O1C = r + 2; То есть в треугольнике АВС на высоте АМ = √5 надо найти точку О1, такую, что О1А = r + 1; O1B = r + 2; и заодно найти r. Ясно, что МО1 = АМ - О1А = √5 - (r + 1); O1B = (r + 2); BM = 2; и MO1^2 + MB^2 = O1B^2; то есть (√5 - 1 - r)^2 + 2^2 = (r + 2)^2; это опять таки не квадратное уравнение. r = (√5 - 1)^2/(2*(√5 + 1)) = (√5 - 1)^3/8 = √5 - 2; О1 лежит (конечно же) внутри АВС, и видно, что OA не равно О1А, то есть центры этих окружностей не совпадают.
Треугольник EKL равносторонний, его стороны a^2 = 1^2 + (1/2)^2 + (1/2)^2 = 3/2; a = √(3/2); KM = a*3/5; KN = a*4/5; cos(∠MKN) = cos(60°) = 1/2; По теореме косинусов MN^2 = (a*3/5)^2 + (a*4/5)^2 - (a*3/5)*(a*4/5) = a^2*13/25; MN = a*√13/5 = √78/10;
В одном из комментариев комментарии я упоминаю, что можно так повернуть куб, чтобы точки E K L циклически поменялись местами E -> K; K -> L; L -> E; и можно сделать это повторно :) . Именно это является главным обоснованием того, что EKL - равносторонний треугольник.
Сразу замечу, что АМ = √5;
1. Если окружность радиуса R с центром в точке О (лежащем на упомянутой высоте :) ) касается внешне всех трех окружностей, то точки касания лежат на соответствующих линиях центров, то есть на прямых ОА, ОВ и ОС.
Отсюда OA = R - 1; OB = OC = R - 2;
То есть в треугольнике АВС на высоте АМ = √5 надо найти точку О, такую, что ОА = R - 1; OB = R - 2; и заодно найти R.
Ясно, что
МО = АМ - ОА = √5 - (R - 1); OB = (R - 2); BM = 2; и MO^2 + MB^2 = OB^2;
то есть (√5 + 1 - R)^2 + 2^2 = (R - 2)^2; это даже не квадратное уравнение - члены с R^2 сокращаются.
R = (√5 + 1)^2/(2*(√5 - 1)) = (√5 + 1)^3/8 = √5 + 2;
интересно, что О лежит СНАРУЖИ АВС.
2. Если окружность радиуса r с центром в точке О1 (лежащем на упомянутой высоте :) ) касается внутренне всех трех окружностей, то точки касания лежат на соответствующих линиях центров, то есть на прямых О1А, О1В и О1С.
Отсюда O1A = r + 1; O1B = O1C = r + 2;
То есть в треугольнике АВС на высоте АМ = √5 надо найти точку О1, такую, что О1А = r + 1; O1B = r + 2; и заодно найти r.
Ясно, что
МО1 = АМ - О1А = √5 - (r + 1); O1B = (r + 2); BM = 2; и MO1^2 + MB^2 = O1B^2;
то есть (√5 - 1 - r)^2 + 2^2 = (r + 2)^2; это опять таки не квадратное уравнение.
r = (√5 - 1)^2/(2*(√5 + 1)) = (√5 - 1)^3/8 = √5 - 2;
О1 лежит (конечно же) внутри АВС, и видно, что OA не равно О1А, то есть центры этих окружностей не совпадают.
a^2 = 1^2 + (1/2)^2 + (1/2)^2 = 3/2; a = √(3/2);
KM = a*3/5; KN = a*4/5; cos(∠MKN) = cos(60°) = 1/2;
По теореме косинусов
MN^2 = (a*3/5)^2 + (a*4/5)^2 - (a*3/5)*(a*4/5) = a^2*13/25;
MN = a*√13/5 = √78/10;
В одном из комментариев комментарии я упоминаю, что можно так повернуть куб, чтобы точки E K L циклически поменялись местами E -> K; K -> L; L -> E; и можно сделать это повторно :) . Именно это является главным обоснованием того, что EKL - равносторонний треугольник.