Если бы все было так просто, как у предыдущего товарища...
Проще всего сделать так - пусть вершина С лежит в точке (0,0) системы координат на плоскости, прямая, про которую говорится в задаче, - это ось Х. Тогда вершины треугольника расположены в точках А (m,1) и B(n,-7); m и n - неизвестны (но они положительны - так мы выбрали оси). Длину стороны обозначим а.
m^2 = a^2 - 1^2;
n^2 = a^2 - 7^2; очевидно, что m > n;
(m - n)^2 = a^2 - (7 + 1)^2;
Надо найти а, поэтому из этой системы уравнений надо исключить m и n - получим уравнение только для а.
3*a^4 - 36*a^2 - 3*64*a^2 + 36*64 = 48^2; удивительно, но свободные члены сокращаются (вообще-то это говорит в пользу существования технически более простого решения).
a^2 = 76;
a = √76;
Если записать это так a^2 = (4/3)*(7^2 + 1^2 +1*7) = (4/3)*(7^2 + 8^2 - 8*7) = 76; то общая конструкция решения несколько проясняется.
Я добавил чертеж (в левом верхнем углу вложения), и - дополнительно приложил альтернативное решение, хотя это нравится мне больше.
Если бы все было так просто, как у предыдущего товарища...
Проще всего сделать так - пусть вершина С лежит в точке (0,0) системы координат на плоскости, прямая, про которую говорится в задаче, - это ось Х. Тогда вершины треугольника расположены в точках А (m,1) и B(n,-7); m и n - неизвестны (но они положительны - так мы выбрали оси). Длину стороны обозначим а.
m^2 = a^2 - 1^2;
n^2 = a^2 - 7^2; очевидно, что m > n;
(m - n)^2 = a^2 - (7 + 1)^2;
Надо найти а, поэтому из этой системы уравнений надо исключить m и n - получим уравнение только для а.
m - n = √(a^2 - 64);
m^2 - n^2 = 7^2 - 1^2 = 48;
m + n = 48/(√(a^2 - 64));
2*m = √(a^2 - 64) + 48/√(a^2 - 64);
m^2 = a^2 - 1 = (1/4)*(√(a^2 - 64) + 48/√(a^2 - 64))^2;
4*a^2 - 4 = a^2 - 64 + 2*48 + 48^2/(a^2 - 64);
(3*a^2 - 36)*(a^2 - 64) = 48^2;
3*a^4 - 36*a^2 - 3*64*a^2 + 36*64 = 48^2; удивительно, но свободные члены сокращаются (вообще-то это говорит в пользу существования технически более простого решения).
a^2 = 76;
a = √76;
Если записать это так a^2 = (4/3)*(7^2 + 1^2 +1*7) = (4/3)*(7^2 + 8^2 - 8*7) = 76; то общая конструкция решения несколько проясняется.
Я добавил чертеж (в левом верхнем углу вложения), и - дополнительно приложил альтернативное решение, хотя это нравится мне больше.
Пусть a и b - катеты, с - гипотенуза, r - радиус вписанной окружности.
Всё, что надо понять - что расстояния от точки пересечения медиан до катетов равны a/3 (до катета b) и b/3 (до a) - и сразу получается соотношение.
(a/3 - r)^2 + (b/3 - r)^2 = r^2;
(a^2 + b^2)/9 - 2*r*(a + b)/3 + r^2 = 0;
Подставим a + b = 2*r + c; a^2 + b^2 = c^2;
c^2/9 - 2*r*(2*r + c) + r^2 = 0;
r^2 + 2*r*c - c^2/3 = 0; Обозначаем r/c = x;
x^2 + 2*x - 1/3 = 0; (x+1)^2 = 4/3; x = 2*корень(3)/3 -1;
поскольку a/c + b/c = 2*(r/c) + 1; то
sin(A) + cos(A) = 4*корень(3)/3 -1; возводим в квадрат обе стороны
1 + sin(2*A) = (4*корень(3)/3 -1)^2;
sin(2*A) = (2 - корень(3))*8/3;
A = (1/2)*arcsin((2 - корень(3))*8/3);
подробное исследование этой задачи можно у меня найти