Диагонали четырехугольника равны 4 см и 9 см, а угол между ними равен 64°. Найдите стороны и углы четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Решение
Согласно теореме Вариньона, середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Так как полученный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона, то:
1) его противоположные стороны попарно равны и равны 1/2 соответствующей диагонали:
АВ = СD = 4 : 2 = 2 см
ВС = AD = 9 : 2 = 4,5 см;
2) углы между сторонами параллелограмма Вариньона равны углам между диагоналями исходного четырёхугольника:
Стороны равны: 2 см; 4,5 см; 2 см; 4,5 см;
углы равны: 64°; 116°; 64°; 116°.
Объяснение:
Задание
Диагонали четырехугольника равны 4 см и 9 см, а угол между ними равен 64°. Найдите стороны и углы четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Решение
Согласно теореме Вариньона, середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Так как полученный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона, то:
1) его противоположные стороны попарно равны и равны 1/2 соответствующей диагонали:
АВ = СD = 4 : 2 = 2 см
ВС = AD = 9 : 2 = 4,5 см;
2) углы между сторонами параллелограмма Вариньона равны углам между диагоналями исходного четырёхугольника:
∠DAB = ∠DCB = 64°
∠ABC = ∠ADC = 180°-64° = 116°
стороны равны: 2 см; 4,5 см; 2 см; 4,5 см;
углы равны: 64°; 116°; 64°; 116°.
34°
Объяснение:
1) Обозначим один из углов х, тогда второй угол - 3х.
Составим уравнение и найдём углы:
х + 3х = 136°
4х = 136°
х = 136° : 4 = 34° - меньший угол
3х = 34° · 3 = 102° - больший угол.
2) Биссектриса делит угол АОВ на 2 равных угла, каждый из которых равен:
136° : 2 = 68°
3) Больший из двух углов, образованных лучом ОС (угол 3х), образует с биссектрисой угол:
102° - 68° = 34°
4) Меньший из двух углов, образованных лучом ОС (угол х), образует с биссектрисой угол:
68° - 34° = 34°
ответ: угол, образованный лучом OC и биссектрисой угла AOB, равен 34°.