а)
б)
в)
Объяснения:
Пусть К, Н и Р - середины сторон АВ, ВС и АС соответственно, тогда
АН⊥ВС, ВР⊥АС, СК⊥АВ (треугольник правильный, медианы, высоты и биссектрисы совпадают).
Центр О правильного треугольника АВС равноудален от вершин и от сторон треугольника, т.е.
АО = ВО = СО, КО = НО = РО, а эти отрезки - проекции соответствующих наклонных на плоскость треугольника, значит
МА = МВ = МС - расстояния от точки М до вершин
и МК = МН = МР - расстояния от точки М до сторон (МК⊥АВ, МН⊥ВС, МР⊥АС по теореме о трех перпендикулярах).
а) ΔМОС: ∠МОС = 90°,
___
____
, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Из прямоугольного треугольника МОК по теореме Пифагора:
б) СО - радиус описанной окружности. Тогда длина окружности:
_____
Площадь правильного треугольника АВС:
ответ:Краткие решения:
1) AB = CD (св-во параллелограмма), ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° (определение прямоугольника). ∠ABN = ∠MCD = 45° (половины углов 90°). Значит, треугольники ABN, MCD – прямоугольные равнобедренные с равными катетами, поэтому эти треугольники равны и BN = CM
2) ∠B = 90°, из треугольника ABC: ∠ACB = 180° - 90° - 55° = 35°. BO = OC (св-во прямоугольника), значит, ∠CBO = ∠ACB = 35°, ∠COD = ∠CBO + ∠ACB = 70° (внешний угол к треугольнику BOC).
3) AO = OB, ∠OAB = ∠OCD = 60° (накрест лежащие углы), тогда треугольник AOB – равносторонний, BE – медиана. AO = 2OE = 8 (определение медианы), AC = 2AO = 16 (св-во параллелограмма).
4) ∠A = ∠B = ∠C = ∠D, тогда 4 маленьких треугольника равны по двум сторонам и углу между ними, откуда A₁B₁ = B₁C₁ = C₁D₁ = D₁A₁, A₁B₁C₁D₁ – ромб.
а)
б)
в)
Объяснения:
Пусть К, Н и Р - середины сторон АВ, ВС и АС соответственно, тогда
АН⊥ВС, ВР⊥АС, СК⊥АВ (треугольник правильный, медианы, высоты и биссектрисы совпадают).
Центр О правильного треугольника АВС равноудален от вершин и от сторон треугольника, т.е.
АО = ВО = СО, КО = НО = РО, а эти отрезки - проекции соответствующих наклонных на плоскость треугольника, значит
МА = МВ = МС - расстояния от точки М до вершин
и МК = МН = МР - расстояния от точки М до сторон (МК⊥АВ, МН⊥ВС, МР⊥АС по теореме о трех перпендикулярах).
а) ΔМОС: ∠МОС = 90°,
___
____
Из прямоугольного треугольника МОК по теореме Пифагора:
___
____
б) СО - радиус описанной окружности. Тогда длина окружности:
_____
в)
Площадь правильного треугольника АВС:
ответ:Краткие решения:
1) AB = CD (св-во параллелограмма), ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° (определение прямоугольника). ∠ABN = ∠MCD = 45° (половины углов 90°). Значит, треугольники ABN, MCD – прямоугольные равнобедренные с равными катетами, поэтому эти треугольники равны и BN = CM
2) ∠B = 90°, из треугольника ABC: ∠ACB = 180° - 90° - 55° = 35°. BO = OC (св-во прямоугольника), значит, ∠CBO = ∠ACB = 35°, ∠COD = ∠CBO + ∠ACB = 70° (внешний угол к треугольнику BOC).
3) AO = OB, ∠OAB = ∠OCD = 60° (накрест лежащие углы), тогда треугольник AOB – равносторонний, BE – медиана. AO = 2OE = 8 (определение медианы), AC = 2AO = 16 (св-во параллелограмма).
4) ∠A = ∠B = ∠C = ∠D, тогда 4 маленьких треугольника равны по двум сторонам и углу между ними, откуда A₁B₁ = B₁C₁ = C₁D₁ = D₁A₁, A₁B₁C₁D₁ – ромб.