Проведём из точки d наклонные da и dc.а) Проекция тр-ка dbc на плоскость abc - сторона bc тр-ка аbc, т.к. плоскость dbc перпендикулярна плоскости abc, а линией их пересечения является bc.б) Тр-к adc - равнобедренный, в нём медиана dk является и высотой, поэтому является расстоянием от точки d до прямой ас.Соединим тоски b и k. bk является расстоянием от точки b до прямой ас в тр-ке abc.Тр-к abc равнобедренный, поэтому bk = √(ab² - (0.5ac)²)bk = √(10² - (0.5·12)²) = √(100 - 36) = √(64) = 8Тр-к dbk - прямоугольный с гипотенузой dk, поэтомуdk = √(db² + bk²) = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17ответ: 17см
Пусть куб KMNPK1M1N1P1 имеет вершины K(0,0,0) M(0,1,0) P(1,0,0) K1(0,0,1) этого достаточно, остальные вершины для определения куба не важны - они "сами собой" занимают своё место M1(0,1,1) N(1,1,0) P1(1,0,1) N1 (1,1,1) (разумеется, таким образом я определил систему координат XYZ) Все это преамбула, "подготовка площадки". Вот теперь решение. Пусть точкам присвоены ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ обозначения K1 <=> C; M <=> D; P <=> A; N1 <=> B; тогда ABCD - правильный тетраэдр. У него все грани - равносторонние треугольники. Плоскость ACD - это плоскость, проходящая через точки (1,0,0) (0,1,0) и (0,0,1), её уравнение x + y + z = 1; то есть нормальный вектор (1,1,1). Плоскость, проходящая через точки C(0,0,1) B(1,1,1) и E(1/2,1/2,0) имеет еще более простое уравнение x = y; нормальный вектор (1, -1, 0) угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами, то есть надо найти угол между векторами (1,1,1) и (1,-1,0); их скалярное произведение равно 0, значит они перпендикулярны.
Между прочим, это можно было заметить сразу, поскольку диагональное сечение куба - плоскость BCE содержит прямую, перпендикулярную плоскости ACD - это AB, вектор AB совпадает с вектором, нормальным к ACD - это (1,1,1)
K(0,0,0) M(0,1,0) P(1,0,0) K1(0,0,1) этого достаточно, остальные вершины для определения куба не важны - они "сами собой" занимают своё место M1(0,1,1) N(1,1,0) P1(1,0,1) N1 (1,1,1) (разумеется, таким образом я определил систему координат XYZ)
Все это преамбула, "подготовка площадки". Вот теперь решение.
Пусть точкам присвоены ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ обозначения
K1 <=> C; M <=> D; P <=> A; N1 <=> B;
тогда ABCD - правильный тетраэдр. У него все грани - равносторонние треугольники.
Плоскость ACD - это плоскость, проходящая через точки (1,0,0) (0,1,0) и (0,0,1), её уравнение x + y + z = 1;
то есть нормальный вектор (1,1,1).
Плоскость, проходящая через точки C(0,0,1) B(1,1,1) и E(1/2,1/2,0)
имеет еще более простое уравнение x = y;
нормальный вектор (1, -1, 0)
угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами, то есть надо найти угол между векторами (1,1,1) и (1,-1,0); их скалярное произведение равно 0, значит они перпендикулярны.
Между прочим, это можно было заметить сразу, поскольку диагональное сечение куба - плоскость BCE содержит прямую, перпендикулярную плоскости ACD - это AB, вектор AB совпадает с вектором, нормальным к ACD - это (1,1,1)