Із точки А, відстань від якої до площини α дорівнює 6√3 см, проведені дві похилі АВ і АС під кутом 30° до площини. Їхні проекції утворюють між собою кут 60°. Знайдіть відстань між основами похилих.

Дано: АВСD - параллелограмм, АС=ВD

Доказать: АВСD - прямоугольник.

Доказательство: В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Т.к. диагонали равны, то ВО=ОС=АО=ОD (смотри рисунок).

ΔАВО и ΔОСD равнобедренные.

АВ=СD, ВО=ОС, АО=ОD ⇒ ΔАВО = ΔОСD (по трем сторонам)

Значит ∠ОВА=∠ВАО=∠ОСD=∠CDО=α.

ΔВОС и ΔАОD равнобедренные

ВС=АD, ВО=ОА, СО=OD ⇒ ΔВОС = ΔАОD (по трем сторонам)

Значит ∠CBO=∠BCO=∠OAD=ODA=β

∠СВА=α+β

∠ВАD=α+β

∠АDС=α+β

∠DСВ=α+β

В четырехугольнике сумма всех углов 360°.

∠СВА+∠ВАD+∠АDС+∠DСВ=(α+β)+(α+β)+(α+β)+(α+β)=4(α+β)=360°

4(α+β)=360°

α+β=360°:4

α+β=90°

∠СВА=α+β=90°

∠ВАD=α+β=90°

∠АDС=α+β=90°

∠DСВ=α+β=90°

Все углы в параллелограмме АВСD прямые, следовательноа АВСD – прямоугольник.

Сделаем рисунок. 
Рассмотрим треугольник NOK
Это равнобедренный прямоугольный треугольник (  NO=KO=R=12 см)
Его углы при основании NK равны по 45°
NK=OK:sin (45°)=12:{(√2):2}=24:√2=24*√2):(√2*√2)=12√2 см
( полезно помнить, что гипотеуза равнобедренного прямоугольного треугольника всегда равна катету, умноженному на √2)

MN  можно найти по т. косинусов. Но можно обойтись и без нее.
Разделим равнобедренный треугольник MON ( его боковые стороны - два радиуса)  высотой к основанию MN на два равных прямоугольных треугольника и найдем половину MN.
0,5 MN=NO*cos (30°)=(12*√3):2=6√3 см
MN=2*6√3=12√3 см