Задача 1. Дано: a ‖ b, с-секущая, угол 2 на 38◦ больше угла1.
Найти: угол1, угол2, угол3.

Задача 2. Прямая ЕК является секущей для AB и CD (Е ϵ AB, К ϵ CD). уголAEK=49◦. При каком значении углаCKЕ прямые AB и CD могут быть параллельными?

Задача 3. Отрезки CD и AB пересекаются в точке О так, что АО=ОВ, АС ‖ DB. Докажите, что Δ АОС = Δ DOB.

Задача 4. На прямой последовательно отложены отрезки AB, BC, CD. Точки Е и Р лежат по разные стороны от этой прямой так, что уголАВЕ = уголРСD = 143◦, уголPBD = 49◦, уголАСЕ=48◦.

а) Докажите, что ВЕ ‖РС.

б) Докажите, что прямые РВ и СЕ пересекаются

166 ²/₃ см²

Биссектриса треугольника делит его противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам.

По условию,  биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 8 см и 17 см.  Значит, один катет равен 8+17=25 см, другой катет равен 8k см, а гипотенуза равна 17k см (k-коэффициент пропорциональности).

По теореме Пифагора можно составить уравнение:

(17k)²= 25²+(8k)²

289k²=625+64k²

289k²-64k²=625

225k²=625

k²=625/225

k²=25/9

k=5/3

Катет прямоугольного треугольника равен 8*5/3 = 40/3 см

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, т.е.

S = 1/2*25*40/3 =25*20/3 = 500/3 = 166 ²/₃ (см²)

1) Из условия SB=SD и СВ = СD как стороны ромба следует, что отрезок SС лежит в вертикальной плоскости.

Теперь рассмотрим треугольник АSС.

Отрезок АС, как диагональ ромба с острым углом 60 градусов, равен:

АС = 2*8*cos (60°/2) = 16*(√3/2) = 8√3.

AC² = 192, SC² = 33. Их сумма равна 225, то есть равна АS² = 15² = 225.

Поэтому угол SСА прямой и отрезок SС - высота пирамиды.

2)   Задачу определения угла между плоскостью ASC и ребром SB можно решить двумя .

2.1) При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла φ в треугольнике.

Спроецируем ребро SB на плоскость ASC.

Точка S остаётся на месте, а точка В - в точку О (это середина диагонали АС основания).

Находим длину отрезка SO = √(SC²+OC²) = √(33+48) = √81 = 9.

Тогда заданный угол - это угол BSO.

Треугольник BSO - прямоугольный так как отрезок ВО перпендикулярен плоскости ASC.

Получаем ответ: угол BSO = arc tg (4/9) =  0,418224 радиан = 23,96249°.

2.2) При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

Вводим систему координат: точка А - начало, ось Оу по диагонали АС, ось Ох - перпендикулярно Оу, ось Oz - через точку А.

Координаты точки В(-4; 4√√3; 0), точки S(0; 8√3; √33).

Вектор SB(-4; -4√3; -√33), модуль |SB| =√(-4)²+(-4√3)²+(-√33)²) = √97.

Так как плоскость ASC совпадает с плоскостью  zOy, то её уравнение х = 0, коэффициент А = 1.

Угол BSO = arc sin (4/√97) =  0,418224 радиан = 23,96249°.