Задание 1
О-центр окружности.
Смотреть 1 фото ниже
Задание 2
Дана окружность с радиусом 3 см. Проведите окружность с радиусом 1 см, имеющую с данной внутреннее касание, и окружность с радиусом 2 см, имеющую с данной внешнее касание.(Чертеж)
Задание 3
Две окружности с диаметрами 10 см и 15 см касаются внутренним образом. Чему равно расстояние между центрами этих окружностей?

АВС - прямоугольный треугольник; А - прямой угол; ВС - гипотенуза. Проведем на гипотенузу отрезок АК так, чтобы АК=КС. Нужно доказать, что АК=ВК. Треугольник АКС - равнобедренный, так как АК=КС. Значит, угол С равен углу САК. В треугольнике АВК угол ВАК равен (90-уг.САК)°=(90-уг.С)°. В треугольнике АВС угол В равен (90-уг.С)°. В треугольнике АВК углы А и В равны по (90-уг.С)°. Значит, треугольник АВК равнобедренный. Отсюда следует, что АК=ВК. Так как АК=КС и АК=ВК, а ВС=ВК+КС, то АК=ВС/2. Такое доказательство рассматривается в 7 классе.

Проведем биссектрису угла А - АМ.
Так как ∠А = 2∠С, то половинки угла А равны углу С.

Обозначим АВ = а, тогда ВС = а + 2,
ВМ = b, МС = а + 2 - b.

По свойству биссектрисы:
ВМ : МС = АВ : ВС
b : (a + 2 - b) = a : 5
5b = a² + 2a - ab                    (1)

Треугольники СВА и АВМ подобны по двум углам: ∠ВСА = ∠ВАМ, угол В общий.
Из подобия треугольников следует:
СВ : АВ = ВА : ВМ
(a + 2) : a = a : b
a² = b(a + 2)
a² = ab + 2b
ab - a² + 2b = 0                    (2)

Из двух уравнений получаем систему:
a² + 2a - ab = 5b
ab - a² + 2b = 0                       складываем

2a + 2b = 5b
2a = 3b
b = 2a/3                      подставляем в первое

a² + 2a - a·2a/3 = 5·2a/3            умножаем на 3
3a² + 6a - 2a² - 10a = 0
a² - 4a = 0
a(a - 4) = 0
a = 4  или  a = 0 - не подходит по смыслу задачи.

АВ = 4 см
ВС = 4 + 2 = 6 см