Задание 5. В треугольнике KLM точка A – середина KL, а точка B – середина LM. Докажите с векторов, что AB параллельна KM и равна половине этой стороны.

Для удобства решения , перенесём симметрично точку K в нижнее основание ABCD (все пересечения абсолютно те же) то есть точкам A,B,C,D соответствуют точки A1,B1,C1,D1. Тогда точка K пересечения прямых BM и AN .
Найдём соотношение BK/KM , проведём в параллелограмме ABCD диагональ BD , O точка пересечения диагоналей , L точка пересечения AN с BD , E точка пересечения CL с AD , тогда для треугольника ACD применим теорему Чевы , (DN/CN)*(CO/AO)*(AE/ED) = 1 или по условию (1/2)*(1/1)*(AE/ED) = 1 откуда AE/ED = 2 , применим теперь теорему Ван Обеля , получаем DL/LO = DE/EA + DN/CN = 1/2+1/2 = 1, Значит BL/LD = 3/1 , теперь применим теореме Менелая для секущей AL треугольника BMD , получаем (DL/BL) * (BK/KM) * (AM/AD) = 1 или (1/3)*(BK/KM)*1/3 = 1
значит BK/KM = 9 .
Найдём соотношение AK/KN , он находится аналогично , распишу только алгоритм ,положим что X точка пересечения DK с AB , Y точка пересечения DK с AC. Находим соотношение AX/XB по теореме Менелая для секущей DX треугольника ABM оно равно AX/XB = 1/6 , находим AY/OY по той же теореме для чекушей DX треугольника ABO , и находим AK/KN опять же теорема Менелая , оно равно AK/KN=3/7 .
S(XYZ) - это площадь треугольника XYZ как пример.
Теперь S(ABK)/S(AKM) = 9 , S(ABM)=S(ABCD)/(2*3)=S(ABCD)/6 , тогда S(ABK) = 9*S(AKM) то есть S(ABM) = 10*S(AKM) значит S(AKM) = S(ABCD)/60 , заметим что площади треугольников S(ABM) = S(AND) , значит S(BKNC) = S(ABCD) - (6S(ABCD)/20+S(ABCD)/60) = 41S(ABCD)/60 или S(B1KNC1) = S(A1B1C1D1)*41/60
Так как прямая призма - это прямой параллепиппед .
Опустим перпендикуляр из точки S На плоскость A1B1C1D1 положим что Z , тогда из подобия треугольников SZB1 и DB1D1 подучим SZ=3/4*(DD1).
Так как V(ABCDA1B1C1D1) = S(A1B1C1D1)*DD1 = 720 , найдём V(SB1KNC1) = S(B1KNC1)*SZ/3 подставляя найденные значения получим V= 41/60*3/4*720/3 = 123 .

1) В равностороннем треугольнике высота (к любой стороне) является биссектрисой и медианой; высоты, биссектрисы, медианы (AN, BH, CM) пересекаются в одной точке (O).

∠OMA=∠ONC=90
∠MAO=∠NCO=∠BAC/2=60/30=30 (в равностороннем треугольнике все углы равны 60, высоты AN и CM являются биссектрисами)
∠AOM=∠NOC=90-30=60 (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90)
AM=CN=AB/2 (AB=BC, высоты AN и CM являются медианами)
△AOM=△NOC (по стороне и прилежащим углам) 

3) ∠AKE +2∠BKH =180 <=> ∠AKE=180-2*32=116 (∠AKB - развернутый угол, KH – биссектриса ∠BKE)
 ∠AKE=∠ABC=116 (соответственные углы при КЕ||ВС) 
∠ABC+ 2∠BAC =180 (в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, сумма углов треугольника 180)
2∠BKH=180-∠AKE=180-∠ABC=2∠BAC
∠BKH=∠BAC=∠ACB=32