Задания по теме «Пирамида»
1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 9,
боковое ребро равно 6. Найдите угол между боковым ребром
пирамиды и плоскостью ее основания. ответ дайте в градусах.
2. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 2√7, боковое ребро
равно 7. Найдите угол между плоскостью боковой грани пирамиды и
плоскостью ее основания. ответ дайте в градусах.
3. Основанием пирамиды SАBC является прямоугольный треугольник
АВС, у которого гипотенуза АС равна 20, катет АВ равен 16. Боковое
ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 5. Найдите
длину ребра SB.
4. Основанием четырехугольной пирамиды PABCD является ромб ABCD,
в котором АС = 6, ВD = 8. Боковое ребро РА перпендикулярно к
плоскости основания пирамиды и равно 4. Найдите расстояние до
плоскости BPD от точки :
а) А;
б) Е – середины ребра ВС.
∠CBD = arcsin(3√7/14) ≈ arcsin(0,567) => ∠CBD ≈ 34,6°.
Объяснение:
Высота призмы - отрезок ОН1 по условию (так как он перпендикулярен основаниям). =>
АВ=ВС=АС=ОН1.
Основания призмы - правильные треугольники. Следовательно, центр основания АВС - точка О лежит на пересечении высот(медиан, биссектрис) этого треугольника.
Проведем высоту СН основания и опустим перпендикуляр С1Р на плоскость, содержащую основание АВС. Точка Р принадлежит продолжению прямой НС, так как РН - проекция С1Н на плоскость, содержащую основание АВС.
Прямоугольные треугольники ОН1Н и РС1С равны по катету С1Р=Н1О и гипотенузе С1С = Н1Н.
=> PC = OH = (1/3)*СН (так как СН - медиана и делится в отношении 2:1, считая от вершины).
СН = (√3/2)*а, где а - сторона треугольника. Пусть сторона основания равна 1. Тогда
СН = √3/2, а РН = РС+СН = (1/3)*(√3/2)+√3/2 = 2√3/3.
В прямоугольном треугольнике РС1Н по Пифагору
С1Н = √(С1Р²+РН²) = √(1+12/9) = √21/3.
Прямоугольные треугольники ∆СDН ~ ∆C1PH по острому углу С1НР.
Из подобия: СD/C1P = CH/C1H => CD = CH*C1P/C1H =>
CD = (√3/2)*1/(√21/3) = 3√7/14.
Sin(∠CBD) = CD/CB = 3√7/14.
∠CBD = arcsin(3√7/14) ≈ arcsin(0,567) => ∠CBD ≈ 34,6°.
ВД=√10-биссектриса, АВ/ВС=АД/ДС=6/3=АД/ДС, 2/1=2х/х, АД=2х, ДС=х, АС=2х+х=3х, проводим высоту ВН на АС, площадь треугольника АВД=1/2*ВН*АД=1/2*2х*ВН=х*ВН, площадь ДВС=1/2*ДС*ВН=х*ВН/2, площадь АВС=1/2*АС*ВН=3х/2 * ВН, из отношения площадей находим площадь ДВС=1/3 площадиАВС, площадь АВД=2/3 площади АВС,
СМ-медиана, АМ=ВМ=3, медиана делит треугольник АВС на два равновеликих треугольника площадь АМС=площадь МВС=1/2площади АВС, треугольник МВК равнобедренный, ВМ=ВС=3,, ВО-биссектриса=медиана=высота, площадь МВО=площадьВОС=1/2площадь МВС=1/4площадьАВС,
площадь АМОД=площадьАВС - (площадьДВС+площадьМВС)=1-(1/3+1/4)=5/12 площадей АВС,
ВД=(1/АВ+ВС)*(корень(АВ*ВС*(АВ+ВС+АС)*(АВ+ВС-АС)=(1/9) * (корень18*(6+3+3х)*(6+3-3х))=(1/9)*(корень(18*(81-9х²), обе части в квадрат, 10*81=18*(81-9х²), х²=4, х=2=ДС, АД=2*2=4, АС=2+4=6
треугольник АВС равнобедренный, АВ=АС=6, проводим высотуВК на ВС=медиане=биссектрисе, ВК=КС=1/2ВС=3/2=1,5=3/2, треугольник АВК прямоугольный АК²=АВ²-ВК²=36-9/4=135/4, АК=(3√15)/2, площадь АВС=1/2*ВК*АК=1/2*3/2*(3√15)/2=(9√15)/4,
площадь АМОД=(5/12)*(9√15)/4=15√15/16