1. Равные многоугольники имеют равные площади (аксиома площадей).
Отсюда —
Равные четырёхугольники равновелики (равные по площади).
2. Обратное утверждение : "Если у четырёхугольников равные площади, то они равны".
Рассмотрим квадрат со стороной 6 (ед) и прямоугольник с смежными сторонами, равными 9 (ед) и 4 (ед).
Логично, что эти фигуры не могут быть равными между собой, ведь у равных четырёхугольников равны все соответствующие элементы (у квадрата все стороны равны по 6 (ед), а у прямоугольника стороны попарно равны по 9 (ед) и 4 (ед), тоесть они никак не могут быть равными).
Однако же —
Площадь квадрата = квадрат стороны = (6 (ед))² = 36 (ед²).
Площадь прямоугольника = произведение смежных сторон = 9 (ед)*4 (ед) = 36 (ед²).
Мы доказали, что квадрат и прямоугольник не равны, однако имеют равные площади.
Поэтому обратное утверждение не всегда верно (верно только тогда, когда четырёхугольник равны).
Если указывать правильный n-угольник на данных вершинах, то между парами соседних вершин нового многоугольника будет пропущено одинаковое количество k вершин старого многоугольника (выбираем вершины через k). С учетом того, что всего вершин было 100,
n * (k + 1) = 100.
n > 2 (число вершин в новом многоугольнике - n)
100 = 2 * 2 * 5 * 5 = 2² * 3²
Всего разложений на два множителя с учетом порядка:
3 * 3 = 9 (в точности количество различных делителей)
Среди них не подходят те, в которых n=1 или n=2 (они, очевидно, встречаются и ровно по одному разу) и n=100 (исходный 100-угольник). Итого 6 правильных многоугольников.
Можно получить этот же ответ в явном виде.
Распишем всевозможные разложения на два множителя (с учетом порядка) числа 100:
1. Равные многоугольники имеют равные площади (аксиома площадей).
Отсюда —
Равные четырёхугольники равновелики (равные по площади).
2. Обратное утверждение : "Если у четырёхугольников равные площади, то они равны".
Рассмотрим квадрат со стороной 6 (ед) и прямоугольник с смежными сторонами, равными 9 (ед) и 4 (ед).
Логично, что эти фигуры не могут быть равными между собой, ведь у равных четырёхугольников равны все соответствующие элементы (у квадрата все стороны равны по 6 (ед), а у прямоугольника стороны попарно равны по 9 (ед) и 4 (ед), тоесть они никак не могут быть равными).
Однако же —
Площадь квадрата = квадрат стороны = (6 (ед))² = 36 (ед²).
Площадь прямоугольника = произведение смежных сторон = 9 (ед)*4 (ед) = 36 (ед²).
Мы доказали, что квадрат и прямоугольник не равны, однако имеют равные площади.
Поэтому обратное утверждение не всегда верно (верно только тогда, когда четырёхугольник равны).
6. Правильные 4-, 5-, 10-, 20-, 25-, 50- угольники.
Объяснение:
Если указывать правильный n-угольник на данных вершинах, то между парами соседних вершин нового многоугольника будет пропущено одинаковое количество k вершин старого многоугольника (выбираем вершины через k). С учетом того, что всего вершин было 100,
n * (k + 1) = 100.
n > 2 (число вершин в новом многоугольнике - n)
100 = 2 * 2 * 5 * 5 = 2² * 3²
Всего разложений на два множителя с учетом порядка:
3 * 3 = 9 (в точности количество различных делителей)
Среди них не подходят те, в которых n=1 или n=2 (они, очевидно, встречаются и ровно по одному разу) и n=100 (исходный 100-угольник). Итого 6 правильных многоугольников.
Можно получить этот же ответ в явном виде.
Распишем всевозможные разложения на два множителя (с учетом порядка) числа 100:
100 = 1 * 100 - n=1, k=99 - не подходит (n > 2)
100 = 2 * 50 - n=2, k=49 - не подходит (n > 2)
100 = 4 * 25 - n=4, k=24 - подходит
100 = 5 * 20 - n=5, k=19 - подходит
100 = 10 * 10 - n=10, k=9 - подходит
100 = 20 * 5 - n=20, k=4 - подходит
100 = 25 * 4 - n=25, k=3 - подходит
100 = 50 * 2 - n=50, k=1 - подходит
100 = 100 * 1 - n=100, k=0 - исходный 100-угольник