Проведем биссектрисы углов В и С, которые пересекутся на АD в точке М.
Биссектрисы образовали со сторонами параллелограмма треугольники, причем
∠ СВМ= ∠ АМВ по свойству углов при пересечении параллельных прямых и секущей, а
∠ АВМ= ∠МВС - как половины угла В.
То же самое с углами ВСМ и СМD.
Раз углы при основании ВМ Δ АВМ и основании СМ Δ СМD равны,
оба этих треугольника - равнобедренные.
В треугольнике АВМ сторона АВ равна стороне АМ, В треугольнике МDС сторона МD равна стороне СD.
Но АВСD- параллелограмм, и стороны АВ и CD равны по определению.
Следовательно, АМ=MD и АD=2АВ ( или 2 CD, что одно и то же)
Р АВСD= 2( АВ+АD) Подставим в значение периметра 2 АВ вместо AD. Р АВСD= 2( АВ+2АВ) 30= 6 АВ АВ=5 см Ответ: Длина короткой стороны параллелограмма равна 5 см
радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. по теореме Пифагора гипотенуза равна корень из 12^2+5^2=13, R=1/2*13=6.5
чтобы найти радиус вписанной окружности воспользуемся формулойS=1/2*P*r,
проведём радиусы в точки касания, они перпендикулярны сторонам треугольника. Точки касания делят каждую сторону треугольника на две части. Пусть одна часть гипотенузы х, тогда другая часть 13-х, по свойствам отрезков касательных отрезки одного катета 13-х и 12-(13-х)=х-1, х-1=2, так как около прямого угла образуется квадрат. х=3, гипотенуза разделилась на отрезки з и 13-3=10
расстояние от центра вписанной окружности до наименьшего угла равно корень из10^2+2^2= корень из104=2 корень из26
2) в 4хугольник можно вписать окружность если суммы противоположных сторон равны, поэтому сумма боковых сторон равна сумме оснований 1+9=10. Так как в равнобедренной трапеции боковые стороны равны, то каждая будет 10:2=5
проведём две высоты. Они разделили трапецию на прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Большее основание разделится на отрезки длиной 1 и (9-1):2=4 тогда из прямоугольного треугольника h= корень из5^2-4^2=3, r=h:2=3:2=1.5 диагональ трапеции найдём по теореме косинусов d= корень из 5^2+1^2-2*5*1*cosa косинус острого угла равен 4/5, тогда cos a=-4/5, d= корень из25+1+10*4/5= корень из34
3) угол C=180-(59+26)=95градусов. Биссектриса CK делит угол С на углы по 47градусов 30минут По теореме синусов 8,2/sin26=AK/sin47 30 AK=8.2*0.7373/0.4384=13.79,
Сделаем рисунок к задаче.
Обозначим вершины параллеограмма привычными буквами АВСD.
Проведем биссектрисы углов В и С, которые пересекутся на АD в точке М.
Биссектрисы образовали со сторонами параллелограмма треугольники, причем
∠ СВМ= ∠ АМВ по свойству углов при пересечении параллельных прямых и секущей, а
∠ АВМ= ∠МВС - как половины угла В.
То же самое с углами ВСМ и СМD.
Раз углы при основании ВМ Δ АВМ и основании СМ Δ СМD равны,
оба этих треугольника - равнобедренные.
В треугольнике АВМ сторона АВ равна стороне АМ,
В треугольнике МDС сторона МD равна стороне СD.
Но АВСD- параллелограмм, и стороны АВ и CD равны по определению.
Следовательно, АМ=MD и АD=2АВ ( или 2 CD, что одно и то же)
Р АВСD= 2( АВ+АD) Подставим в значение периметра 2 АВ вместо AD.
Р АВСD= 2( АВ+2АВ)
30= 6 АВ
АВ=5 см
Ответ: Длина короткой стороны параллелограмма равна 5 см
радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. по теореме Пифагора гипотенуза равна корень из 12^2+5^2=13, R=1/2*13=6.5
чтобы найти радиус вписанной окружности воспользуемся формулойS=1/2*P*r,
P=12+5+13=30, S=1/2*12*5=30, 1/2*30*r=30, r=2*30/30=2
проведём радиусы в точки касания, они перпендикулярны сторонам треугольника. Точки касания делят каждую сторону треугольника на две части. Пусть одна часть гипотенузы х, тогда другая часть 13-х, по свойствам отрезков касательных отрезки одного катета 13-х и 12-(13-х)=х-1, х-1=2, так как около прямого угла образуется квадрат. х=3, гипотенуза разделилась на отрезки з и 13-3=10
расстояние от центра вписанной окружности до наименьшего угла равно корень из10^2+2^2= корень из104=2 корень из26
2) в 4хугольник можно вписать окружность если суммы противоположных сторон равны, поэтому сумма боковых сторон равна сумме оснований 1+9=10. Так как в равнобедренной трапеции боковые стороны равны, то каждая будет 10:2=5
проведём две высоты. Они разделили трапецию на прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Большее основание разделится на отрезки длиной 1 и (9-1):2=4 тогда из прямоугольного треугольника h= корень из5^2-4^2=3, r=h:2=3:2=1.5 диагональ трапеции найдём по теореме косинусов d= корень из 5^2+1^2-2*5*1*cosa косинус острого угла равен 4/5, тогда cos a=-4/5, d= корень из25+1+10*4/5= корень из34
3) угол C=180-(59+26)=95градусов. Биссектриса CK делит угол С на углы по 47градусов 30минут По теореме синусов 8,2/sin26=AK/sin47 30 AK=8.2*0.7373/0.4384=13.79,
8.2/sin59=KB/sin47 30, KB=8.2*0.7373/0.8572=7.05, AB= 7.05+13.79=20.84
по теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла рано удвоенному радиусу 8,2/sin26=2R, 2R=18.7, R=18.7:2=9.35, S=1/2*AB*BC*sinB,
BC/sin26=AB/sin95, BC=AB*sin26/sin95=20.84*0.4384/0.9962=9.17, S=1/2*20.84*9.17*0.8572=81.91