Через точку M лежащую между параллельными плоскостями α и β проведены прямые l и k. l пересекает α и β в точке C и D, k пересекает α и β в точках C1 и D1. Найти CC1, если DD1=10 см, а CD/CM=7/2 ------------------- Решение начнем с рисунка. Так как плоскости α и β параллельны, а прямые l и k пересекаются вне их, отрезки СС1 и ДД1, лежащие в параллельных плоскостях, параллельны. Рассмотрим треугольники СМС1 и ДМД1 При точке М их углы равны ( вертикальные). Углы ДСС1 и СДД1 равны как углы при пересечении параллельных прямых СС1 и ДД1 секущей. Углы СС1Д1 и С1Д1Д равны на том же основании. Треугольники СМС1 и ДМД1 подобны. СД:СМ=7/2 Следовательно, МД:СМ=(СД-СМ):СМ =(7-2):2=5/2 Коэффициент подобия треугольников 5/2 ДД1:СС1=5:2 10:СС1=5:2 5СС1=20 СС1=20:5=4 ответ: СС1=4
Пусть МО⊥(АВС). Проведем ОН⊥AD и ОК⊥АВ. ОН и ОК- проекции наклонных МН и МК на плоскость прямоугольника, тогда и МН⊥AD, МК⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.
∠МАО = φ - угол между наклонной АМ и плоскостью прямоугольника, ∠МАН = ∠МАК = α - угол между наклонной АМ и сторонами AD и АВ прямоугольника. ΔМАН = ΔМАК по гипотенузе и острому углу (АМ общая, ∠МАН = ∠МАК = α), значит АК = АН, и значит АКОН - квадрат и АО - его диагональ, а следовательно и биссектриса угла BAD.
Стоит запомнить, что наклонная, проведенная через вершину угла, лежащего в плоскости, и образующая равные углы с его сторонами, проецируется на биссектрису этого угла.
Пусть а - сторона квадрата АКОН. Тогда АО = а√2, как диагональ квадрата. ΔАМО: АМ = AO / cos φ = a√2 / cos φ ΔAMH: cos α = АН / AM = a / (a√2 / cos φ) = cos φ / √2 sin α = √(1 - cos²α)
l пересекает α и β в точке C и D, k пересекает α и β в точках C1 и D1.
Найти CC1, если DD1=10 см, а CD/CM=7/2
-------------------
Решение начнем с рисунка.
Так как плоскости α и β параллельны, а прямые l и k пересекаются вне их, отрезки СС1 и ДД1, лежащие в параллельных плоскостях, параллельны.
Рассмотрим треугольники СМС1 и ДМД1
При точке М их углы равны ( вертикальные).
Углы ДСС1 и СДД1 равны как углы при пересечении параллельных прямых СС1 и ДД1 секущей.
Углы СС1Д1 и С1Д1Д равны на том же основании.
Треугольники СМС1 и ДМД1 подобны.
СД:СМ=7/2
Следовательно, МД:СМ=(СД-СМ):СМ =(7-2):2=5/2
Коэффициент подобия треугольников 5/2
ДД1:СС1=5:2
10:СС1=5:2
5СС1=20
СС1=20:5=4
ответ: СС1=4
Проведем ОН⊥AD и ОК⊥АВ.
ОН и ОК- проекции наклонных МН и МК на плоскость прямоугольника, тогда и МН⊥AD, МК⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.
∠МАО = φ - угол между наклонной АМ и плоскостью прямоугольника,
∠МАН = ∠МАК = α - угол между наклонной АМ и сторонами AD и АВ прямоугольника.
ΔМАН = ΔМАК по гипотенузе и острому углу (АМ общая, ∠МАН = ∠МАК = α), значит АК = АН, и значит АКОН - квадрат и АО - его диагональ, а следовательно и биссектриса угла BAD.
Стоит запомнить, что наклонная, проведенная через вершину угла, лежащего в плоскости, и образующая равные углы с его сторонами, проецируется на биссектрису этого угла.
Пусть а - сторона квадрата АКОН.
Тогда АО = а√2, как диагональ квадрата.
ΔАМО: АМ = AO / cos φ = a√2 / cos φ
ΔAMH: cos α = АН / AM = a / (a√2 / cos φ) = cos φ / √2
sin α = √(1 - cos²α)