Пусть пирамида имеет вершину S и в основании треугольник АВС.
Для простоты обозначим неизвестную сторону основания х.
Из точек С и В проведём к ребру АS перпендикуляры. В силу того, что грани АSC и АSВ одинаковы, эти перпендикуляры придут в одну точку К на ребре АS. Эти перпендикуляры равны: СК = ВК. Следовательно, треугольник СКВ - равнобедренный.
Мерой двугранного угла, образованного двумя боковыми гранями АSC и АSВ является линейный угол СКВ. Итак, уг. СКВ = 2φ
Из вершины К тр-ка СКВ опустим высоту КД(она же медиана, она же биссектриса) на сторону ВС.
В прямоугольном тр-ке СКД уг.СКД = φ. Половина СД стороны основания ВС равна = 0,5х или
0,5х = СK·sinφ.
В тр-ке АSC, являющемся боковой гранью, высоту СК можно найти из площади
S = 1/2 CK· AS
или поскольку ребро AS = a, то
S = 1/2 CK· а, откуда
СК = 2S/а.
Для другой боковой грани - тр-ка BSC, равного тр-ку АSC та же площадь
S = 1/2 SД· ВС или
S = 0,5 SД· х.
Из тр-ка СSД найдём SД
SД² = SC² - CД² или
SД² =а² - (0,5х)²
SД =√(а² - (0,5х)²)
Теперь пошли обратно по "жирной" цепочке
Подставим SД в S = 1/2 SД· х и получим
S = 0,5 √(а² - (0,5х)²)· х
S подставим в СК = 2S/а. Получим
СК = (х/а)·√(а² - (0,5х)²)
Наконец, подставим СК в 0,5х = СK·sinφ.
0,5х = [√(а² - (0,5х)²)· х/а]·sinφ.
Преобразуем и найдём х
х/(2sinφ) = (х/а)·√(а² - (0,5х)²)
1/(2sinφ) = (1/а)·√(а² - (0,5х)²)
а = 2sinφ·√(а² - (0,5х)²)
а² = 4sin²φ·(а² - (0,5х)²
а² = sin²φ·(4а² - х²)
а² - 4а² ·sin²φ·= - х²·sin²φ
а²(4sin²φ - 1) = х²·sin²φ
х = [а·√(4sin²φ - 1)]/sinφ - это и есть длина стороны основания
Обозначим вершины тр-ке А,В,С, Пусть С- прямой угол. Биссектриса СМ, а высота СК.
Дано: уг. МСК = 15°. ВС = 5см.
Найти: АВ
Поскольку СМ - биссектриса, то уг. МСВ = уг. АСМ = 0,5 уг.С = 90:2 = 45°
Уг. КСВ = уг. МСВ - уг.МСК = 45° - 15° = 30°
Высота СМ, опущенная из прямого угла С, делит тр-к АВС на два тр-ка АСК и СВК, подобных тр-ку АВС.
Рассмотрим подобные тр-ки АВС и СВК.
У них общий угол В, поэтому уг. А(в тр-ке АВС) = уг. ВСК (в тр-ке СВК) = 30°
Катет ВС, лежащий против угла А, равного 30°, равен 0,5 гипотенузы АВ
Гипотенуза АВ тогда:
АВ = 2 ВС = 2·5 = 10(см)
ответ: гипотенуза АВ треугольника АВС равна 10см.
Пусть пирамида имеет вершину S и в основании треугольник АВС.
Для простоты обозначим неизвестную сторону основания х.
Из точек С и В проведём к ребру АS перпендикуляры. В силу того, что грани АSC и АSВ одинаковы, эти перпендикуляры придут в одну точку К на ребре АS. Эти перпендикуляры равны: СК = ВК. Следовательно, треугольник СКВ - равнобедренный.
Мерой двугранного угла, образованного двумя боковыми гранями АSC и АSВ является линейный угол СКВ. Итак, уг. СКВ = 2φ
Из вершины К тр-ка СКВ опустим высоту КД(она же медиана, она же биссектриса) на сторону ВС.
В прямоугольном тр-ке СКД уг.СКД = φ. Половина СД стороны основания ВС равна = 0,5х или
0,5х = СK·sinφ.
В тр-ке АSC, являющемся боковой гранью, высоту СК можно найти из площади
S = 1/2 CK· AS
или поскольку ребро AS = a, то
S = 1/2 CK· а, откуда
СК = 2S/а.
Для другой боковой грани - тр-ка BSC, равного тр-ку АSC та же площадь
S = 1/2 SД· ВС или
S = 0,5 SД· х.
Из тр-ка СSД найдём SД
SД² = SC² - CД² или
SД² =а² - (0,5х)²
SД =√(а² - (0,5х)²)
Теперь пошли обратно по "жирной" цепочке
Подставим SД в S = 1/2 SД· х и получим
S = 0,5 √(а² - (0,5х)²)· х
S подставим в СК = 2S/а. Получим
СК = (х/а)·√(а² - (0,5х)²)
Наконец, подставим СК в 0,5х = СK·sinφ.
0,5х = [√(а² - (0,5х)²)· х/а]·sinφ.
Преобразуем и найдём х
х/(2sinφ) = (х/а)·√(а² - (0,5х)²)
1/(2sinφ) = (1/а)·√(а² - (0,5х)²)
а = 2sinφ·√(а² - (0,5х)²)
а² = 4sin²φ·(а² - (0,5х)²
а² = sin²φ·(4а² - х²)
а² - 4а² ·sin²φ·= - х²·sin²φ
а²(4sin²φ - 1) = х²·sin²φ
х = [а·√(4sin²φ - 1)]/sinφ - это и есть длина стороны основания