Знайдіть меншу основу рівнобічної трапеції, діагональ якої перпендикулярна до бічної сторони і утворює з більшою основою кут , удвічі менший за кут при цій основі, а більша основа дорівнює 10 см.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. 

Полусумма оснований равна (6+12):2=9 см

Высоту найдем из двух треугольников и приравняем найденные значения. 

Опустим из С высоту Сн на АD

Её значение из треугольника АСн равно 

13²-(12-х)²

Значение высоты из треугольника нСD

5²-х²

Приравняем эти значения

13²-(12-х)²=5²-х²

169-144+24х-х² = 25- -х²

24х=144+25 -169

24х=0

х=0

Из этого следует, что эта трапеция - прямоугольная. 

Высота в ней равна боковой стороне  и равна 5 см

Площадь трапеции равна

5*9=45 см₂

Числа 12, 13 и 5 наводят еще до решения задачи на мысль, что диагональ трапеции с основанием и боковой стороной 5 см составляет прямоугольный треугольник ( из так называемых троек Пифагора). Но это нужно обосновать. что мы и сделали. 

ΔABC - равнобедренный, AB = BC;

AC = 24 см;   BM⊥AC;   BM = 9 см

Площадь треугольника

S = AC * BM / 2 = 24 * 9 /2 = 108 см²

BM - высота равнобедренного треугольника, она же и медиана.

⇒     AM = MC = 24/2 = 12 см

ΔBMC - прямоугольный,   ∠M = 90°. 

Теорема Пифагора

BC² = BM² + MC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15² ⇒

AB = BC = 15 см

Площадь треугольника можно посчитать через радиус вписанной окружности:

S = pr,    где p - полупериметр.   ⇒     r = S/p

см

r = S/p = 108 / 27 = 4 см

ответ: радиус вписанной окружности 4 см