Знайдіть об'єм правильної чотирикутної піраміди, у якій апофема дорівнює √6см, а бічне ребро 2√2.

Так как A внутри BCD, AB=AD, то BAD - тоже равнобедренный треугольник, и у него общее с BCD основание BD. Поставим точку K так, что BK=KD, тогда KC - медиана BCD, KA - медиана BAD.
Докажем второй пункт.  Как известно, высота равнобедренного треугольника совпадает с его медианой и биссектрисой и является его осью симметрии. Также, любые два равнобедренных треугольника, построенные на одном основании, обладают общей осью симметрии и, как следствие, общей высотой/медианой/биссектрисой. Тогда получаем, что KA⊂KC и все три точки лежат на KC.
Это автоматически доказывает первый пункт, т.к. непонятные ∠ACB и ∠ACD превращаются в углы при биссектрисе ∠KCB=∠KCD, которые равны между собой.

P ABCD = AB + BC + CD + AD

BC = AD = 12; АB = CD - противолежащие стороны параллелограмма равны.

Найдем длины сторон AB и CD:

Углы ВAЕ и EAD равны, т.к. АЕ – биссектриса угла А; углы BЕА и ЕАD равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей АЕ. Значит, будут равны углы ВЕА и ВАЕ и поэтому треугольник АВЕ будет равнобедренным. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит АВ = ВЕ.

Пусть СЕ рано х см, тогда ВЕ – (3х) см. Их сумма равна (х + 3х) см или 12 см.

х + 3х = 12;

4x =12;

x = 12 : 4;

x = 3 (см) – СЕ;

3х = 3 * 3 = 9 (см) – ВЕ.

АВ = СD = 9 cм.

P ABCD = 9 + 12 + 9 + 12 = 42 (cм).

ответ. 42 см.