№1
Если прямая перпендикулярна плоскости, то эта прямая будет перпендикулярна любой прямой прямой, лежащей на этой плоскости.
Так как ВН перпендикулярна плоскости (АВС), АС – отрезок, лежащий на плоскости (АВС), то ВН перпендикулярна АС.
Доказано.
№2
а) Рассмотрим ∆DCK, ∆DCL, ∆DCM и ∆DCN.
Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей на этой плоскости.
Следовательно DC перпендикулярна МК и NL, то есть угол DCK=угол DCL=угол DCM=угол DCN=90°.
Значит рассматриваемые треугольники прямоугольные.
KLMN – квадрат по условию.
Диагонали квадрата равны и точкой пересечения деляться пополам. Следовательно любая половина диагонали квадрата равна трём другим.
То есть CK=CL=CM=CN.
DC – общая сторона.
Тогда ∆DCK=∆DCL=∆DCM=∆DCN как прямоугольные треугольники по двум катетам.
Исходя из этого DK=DL=DM=DN как соответствующие стороны равных треугольников.
б) Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу.
Следовательно угол КСL=90°, тогда ∆КСL – прямоугольный.
СК=СL (доказано ранее). Пусть СК=х, тогда CL=x так же.
По теореме Пифагора в прямоугольном ∆KCL:
KL²=CL²+CL²
12²=x²+x²
2x²=144
x²=72
Совокупность:
x=√72
х=–√72
Так как длина задана положительным числом, то
х=√72
То есть CL=√72.
∆DCL – прямоугольный с прямым углом DCL (доказано ранее).
По теореме Пифагора в прямоугольном ∆DCL:
DL²=CL²+DC²
DL²=(√72)²+3²
DL²=72+9
DL=√81
DL=–81
DL=9
DL=–9
DL=9.
DN=DL (доказано ранее), следовательно DN=9.
ответ: 9
Дано:
АВСЕ — ромб,
ВС = 10 дециметров,
угол В = 150 градусов.
Найти площадь ромба АВСЕ, то есть S АВСЕ — ?
1. Рассмотрим ромб АВСЕ. У него противолежащие стороны и углы равны между собой, тогда угол А = углу С , угол В = углу Е. Нам известно, что сумма градусных мер параллелограмма равна 360 градусам. Следовательно:
угол А + угол С = 360 - 150 - 150;
угол А + угол С = 60;
угол А = углу С = 60 : 2;
угол А = углу С = 30 градусов.
2. S АВСЕ = ВС * СЕ * sin С;
S АВСЕ = 10 * 10 * 1/2;
S АВСЕ = 10 дециметров квадратных.
ответ: 10 дециметров квадратных.
№1
Если прямая перпендикулярна плоскости, то эта прямая будет перпендикулярна любой прямой прямой, лежащей на этой плоскости.
Так как ВН перпендикулярна плоскости (АВС), АС – отрезок, лежащий на плоскости (АВС), то ВН перпендикулярна АС.
Доказано.
№2
а) Рассмотрим ∆DCK, ∆DCL, ∆DCM и ∆DCN.
Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей на этой плоскости.
Следовательно DC перпендикулярна МК и NL, то есть угол DCK=угол DCL=угол DCM=угол DCN=90°.
Значит рассматриваемые треугольники прямоугольные.
KLMN – квадрат по условию.
Диагонали квадрата равны и точкой пересечения деляться пополам. Следовательно любая половина диагонали квадрата равна трём другим.
То есть CK=CL=CM=CN.
DC – общая сторона.
Тогда ∆DCK=∆DCL=∆DCM=∆DCN как прямоугольные треугольники по двум катетам.
Исходя из этого DK=DL=DM=DN как соответствующие стороны равных треугольников.
Доказано.
б) Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу.
Следовательно угол КСL=90°, тогда ∆КСL – прямоугольный.
СК=СL (доказано ранее). Пусть СК=х, тогда CL=x так же.
По теореме Пифагора в прямоугольном ∆KCL:
KL²=CL²+CL²
12²=x²+x²
2x²=144
x²=72
Совокупность:
x=√72
х=–√72
Так как длина задана положительным числом, то
х=√72
То есть CL=√72.
∆DCL – прямоугольный с прямым углом DCL (доказано ранее).
По теореме Пифагора в прямоугольном ∆DCL:
DL²=CL²+DC²
DL²=(√72)²+3²
DL²=72+9
Совокупность:
DL=√81
DL=–81
Совокупность:
DL=9
DL=–9
Так как длина задана положительным числом, то
DL=9.
DN=DL (доказано ранее), следовательно DN=9.
ответ: 9
Дано:
АВСЕ — ромб,
ВС = 10 дециметров,
угол В = 150 градусов.
Найти площадь ромба АВСЕ, то есть S АВСЕ — ?
1. Рассмотрим ромб АВСЕ. У него противолежащие стороны и углы равны между собой, тогда угол А = углу С , угол В = углу Е. Нам известно, что сумма градусных мер параллелограмма равна 360 градусам. Следовательно:
угол А + угол С = 360 - 150 - 150;
угол А + угол С = 60;
угол А = углу С = 60 : 2;
угол А = углу С = 30 градусов.
2. S АВСЕ = ВС * СЕ * sin С;
S АВСЕ = 10 * 10 * 1/2;
S АВСЕ = 10 дециметров квадратных.
ответ: 10 дециметров квадратных.