при x1=0 (для последующих уравнений х2=0; х3=0 и т.д.)
x1 y1 z1
0 0 0
0 1 1 всего два решения
при х1=1
x1 y1 z1
1 0 1
1 1 0
1 1 1 всего три решения
вывод: каждое из семи уравнений даёт при xn=0 два решения и при хn=1 три решения n=1,2,...,7) РЕШЕНИЯ КАЖДОГО из семи последних УРАВНЕНИЯ НЕЗАВИСИМЫ ДРУГ ОТ ДРУГА, зависят только от решений первого уравнения
Первое уравнение системы – это несколько условий, соединённых конъюнкциями. Чтобы такая последовательность условий была истинной, каждое условие должно быть истинным. Заметим, что если какой-то икс оказался равен 1, то все последующие иксы тоже должны быть равны нулю, так как 1 -> 0 = 0.
Остальные уравнения имеют одинаковый вид (a ∨ b ∨ ~c) ∧ (a ∨ ~b ∨ c) ∧ (~a ∨ b ∨ c) = 1. Вновь каждая скобка должна быть истинной. Прикинем, когда так будет.
Пусть a = 1. При этом первые две скобки автоматически истинны, а третья превращается в b ∨ c, что будет истинно, если хотя бы одна из переменных b, c истинна. В этом случае есть 3 комбинации (b, c), при которых уравнение выполняется (все, кроме 0, 0).
Если a = 0, то истинна третья скобка, первые две превращаются в (b ∨ ~c) ∧ (~b ∨ c). В таком выражении можно разглядеть (c -> b) ∧ (b -> c), т.е. эквиваленцию b ↔ c. Она верна, только если операнды одинаковы, тогда есть две комбинации (b, c), при которых уравнение выполняется: (0, 0) и (1, 1).
Собираем вместе: решение первого уравнения – первые k иксов равны 0, оставшиеся 7 - k иксов равны 1. Все оставшиеся уравнения зависимы только через иксы, если соответствующий икс равен 0, то такое уравнение имеет 2 решения, иначе 3 решения. По правилу произведения система при фиксированном k имеет 2^k * 3^(7 - k) = 3^7 * (2/3)^k решений.
Чтобы найти общее количество решений, нужно просуммировать при k от 0 до 7. В этом сумма геометрической прогрессии:
1-ое уравнение:
(x1→x2)*(x2→x3)*(x3→x4)*(x5→x6)*(x6→x7)=1 решения:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
2-ое уравнение ( и все последующие) решение:
при x1=0 (для последующих уравнений х2=0; х3=0 и т.д.)
x1 y1 z1
0 0 0
0 1 1 всего два решения
при х1=1
x1 y1 z1
1 0 1
1 1 0
1 1 1 всего три решения
вывод: каждое из семи уравнений даёт при xn=0 два решения и при хn=1 три решения n=1,2,...,7) РЕШЕНИЯ КАЖДОГО из семи последних УРАВНЕНИЯ НЕЗАВИСИМЫ ДРУГ ОТ ДРУГА, зависят только от решений первого уравнения
смотрим на решения первого уравнения:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
0 0 0 0 0 0 0 - всего решений: 2^7 =138
0 0 0 0 0 0 1 - 2^6 * 3^1 =192
0 0 0 0 0 1 1 - 2^5 * 3^2=288
0 0 0 0 1 1 1 2^4 * 3^3=432
0 0 0 1 1 1 1 2^3 * 3^4=648
0 0 1 1 1 1 1 2^2 * 3^5=972
0 1 1 1 1 1 1 2^1 * 3^6 =1458
1 1 1 1 1 1 1 3^7=2187
128+192+288+432+648+972+1458+2187=6305 <ответ
Первое уравнение системы – это несколько условий, соединённых конъюнкциями. Чтобы такая последовательность условий была истинной, каждое условие должно быть истинным. Заметим, что если какой-то икс оказался равен 1, то все последующие иксы тоже должны быть равны нулю, так как 1 -> 0 = 0.
Остальные уравнения имеют одинаковый вид (a ∨ b ∨ ~c) ∧ (a ∨ ~b ∨ c) ∧ (~a ∨ b ∨ c) = 1. Вновь каждая скобка должна быть истинной. Прикинем, когда так будет.
Пусть a = 1. При этом первые две скобки автоматически истинны, а третья превращается в b ∨ c, что будет истинно, если хотя бы одна из переменных b, c истинна. В этом случае есть 3 комбинации (b, c), при которых уравнение выполняется (все, кроме 0, 0).
Если a = 0, то истинна третья скобка, первые две превращаются в (b ∨ ~c) ∧ (~b ∨ c). В таком выражении можно разглядеть (c -> b) ∧ (b -> c), т.е. эквиваленцию b ↔ c. Она верна, только если операнды одинаковы, тогда есть две комбинации (b, c), при которых уравнение выполняется: (0, 0) и (1, 1).
Собираем вместе: решение первого уравнения – первые k иксов равны 0, оставшиеся 7 - k иксов равны 1. Все оставшиеся уравнения зависимы только через иксы, если соответствующий икс равен 0, то такое уравнение имеет 2 решения, иначе 3 решения. По правилу произведения система при фиксированном k имеет 2^k * 3^(7 - k) = 3^7 * (2/3)^k решений.
Чтобы найти общее количество решений, нужно просуммировать при k от 0 до 7. В этом сумма геометрической прогрессии:
3^7 * ((2/3)^0 + (2/3)^1 + ... + (2/3)^7) = 3^7 * (1 - (2/3)^8)/(1 - 2/3) = 3^8 - 2^8 = 6305.