"Кванторные операции над предикатами Задание 1. На множестве ℕ заданы предикаты:
а) P x : «x нечетное число»,
б) Q x : «x ⋮ 6»,
в) R x : «x2 − 7x + 6 = 0» .
Используя кванторы, получите все возможные высказывания,
расшифруйте и выясните их истинность.
Задание 2.
На множестве ℕ^2
заданы предикаты0
а) P (x; y) : «x > y» ;
б) Q (x, y) : «x ⋮ 3y» .
Используя кванторы, получите все возможные высказывания, расшифруйте и выясните их истинность.
Задание 3.
Определите тождественно истинные и тождественно ложные высказывания на
M = ℕ^2: а) ∀y P x; y : «x ≥ y»; б) ∃x P x; y : «x < y».
Задание 4.
Предикаты A (x; y) и B (y; z) определены на множестве M × M, M = {3; 4; 5; 6} .
Запишите формулу ∃yA (x; y) ∨ ∀zB (y; z) без кванторных операций.
Задание 5.
Найдите отрицание формул:
а) ∃x (P (x) ∨ Q (x)) ;
б) ∀x (P (x) ∨ ┐Q (x)) ;
в) ∃x∀y (P (x; y) ↔ Q (x; y)) ;
г) ∀x∀y (P (x; y) ↔ Q (x; y)) .
Задание 6.
Даны утверждения: A (n) : «n ⋮ 2»; B (n) : «n ⋮ 3»; C (n) : «n ⋮ 4»; D (n) : «n ⋮ 12»;
E (n) : «n ⋮ 24» .
Определите истинные и ложные высказывания:
а) ∀n (A (n) ∧ B (n) → E (n)) ;
б) ∀n (B (n) ∧ C (n) → D (n)) ;
в) ∃n (C(n) ∧ D (n) → E (n)) ;
г) ∀n (E (n) → C (n) ∧ D (n)) ;
д) ∀n (┐E (n) → B (n) ∧ D (n)).
1. 0..65534 -> 32767
2. 0..32766 -> 16383
3. 0..16382 -> 8191
4. 0..8190 -> 4095
5. 0..4094 -> 2047
6. 2048..4094 -> 3071
7. 2048..3070 -> 2559
8. 2560..3070 -> 2815
9. 2816..3070 -> 2943
10. 2944..3070 -> 3007
11. 2944..3006 -> 2975
12. 2976..3006 -> 2991
13. 2992..3006 -> 2999
14. 3000..3006 -> 3003
15. 3000..3002 -> 3001
Если лень перебирать вручную, можно воспользоваться программой
var k,l,r,x,f:integer;
begin
f := 3001;
l := 0;
r := 65534;
x := (l + r) div 2;
k := 1;
while (x <> f) and (l < r) do
begin
writeln(k,' ',l,' ',r,' ',x);
k := k + 1;
if f < x then r := x - 1
else l := x + 1;
x := (l + r) div 2
end;
writeln(k,' ',l,' ',r,' ',x);
end.
1. + n 3 8 9 8
2 n 7 5 m
m 8 5 n 3
ясно, что основание искомой с/с > 10. Проверим и удостоверимся, что в 11c|c действия выполняются верно.
11 c|c M=6 n = 4
ответ: основание системы 11, m=6, n=4
2. m m 65 n
+2 n 4 4 m
5 5 4 2 4 очевидно, что основание искомой с/с > 6.
Проверим по действиям в 7 с/с, при сложении в столбик,
при m=3 и n=1
и удостоверимся, что всё верно.
ответ: осн. с\с = 7, m=3, n=1
3. пусть основание с\с будет X? тогда:
(4*X^2+X+5)*4 =2*X^3+2*X^2+6*X+6
раскрываем скобки, преобразуем и получаем уравнение:
(2*X - 14)*(X^2+1) = 0 ---> X=7
ответ:7