Деление c остатком — арифметическая операция, играющая большую роль в арифметике, теории чисел, алгебре и криптографии. Чаще всего эта операция определяется для целых или натуральных чисел следующим образом[1]. Пусть {\displaystyle a}a и {\displaystyle b}b — целые числа, причём {\displaystyle b\neq 0.}b\neq 0. Деление с остатком {\displaystyle a}a («делимого») на {\displaystyle b}b («делитель») означает нахождение таких целых чисел {\displaystyle q}q и {\displaystyle r}r, что выполняется равенство:
{\displaystyle a=b\cdot q+r}a=b\cdot q+r
Таким образом, результатами деления с остатком являются два целых числа: {\displaystyle q}q называется неполным частным от деления, а {\displaystyle r}r — остатком от деления. На остаток налагается дополнительное условие: {\displaystyle 0\leqslant r<|b|,}{\displaystyle 0\leqslant r<|b|,} то есть остаток от деления должен быть неотрицательным числом и по абсолютной величине меньше делителя. Это условие обеспечивает однозначность результатов деления с остатком для всех целых чисел, то есть существует единственное решение уравнения {\displaystyle a=b\cdot q+r}a=b\cdot q+r при заданных выше условиях. Если остаток равен нулю, говорят, что {\displaystyle a}a нацело делится на {\displaystyle b.}b.
Нахождение неполного частного также называют целочисленным делением, а нахождение остатка от деления называют взятием остатка или, неформально, делением по модулю (однако последний термин стоит избегать, так как он может привести к путанице с делением в кольце или группе вычетов по аналогии со сложением или умножением по модулю).
Примеры
При делении с остатком положительного числа {\displaystyle a=78}a=78 на {\displaystyle b=33}b=33 получаем неполное частное {\displaystyle q=2}q=2 и остаток {\displaystyle r=12}r=12.
При делении с остатком отрицательного числа {\displaystyle a=-78}a=-78 на {\displaystyle b=33}b=33 получаем неполное частное {\displaystyle q=-3}q=-3 и остаток {\displaystyle r=21}r=21.
При делении с остатком отрицательного числа {\displaystyle a=-9}{\displaystyle a=-9} на {\displaystyle b=-13}{\displaystyle b=-13} получаем неполное частное {\displaystyle q=1}{\displaystyle q=1} и остаток {\displaystyle r=4}r = 4.
При делении с остатком положительного числа {\displaystyle a=9}{\displaystyle a=9} на {\displaystyle b=90}{\displaystyle b=90} получаем неполное частное {\displaystyle q=0}q=0 и остаток {\displaystyle r=9}{\displaystyle r=9}.
При делении с остатком числа {\displaystyle a=78}a=78 на {\displaystyle b=26}b=26 получаем неполное частное {\displaystyle q=3}q=3 и остаток {\displaystyle r=0}r=0, то есть деление выполняется нацело.
Операция деления с остатком может быть определена не только для целых чисел, но и для других математических объектов (например, для многочленов), см. ниже.
Деление c остатком — арифметическая операция, играющая большую роль в арифметике, теории чисел, алгебре и криптографии. Чаще всего эта операция определяется для целых или натуральных чисел следующим образом[1]. Пусть {\displaystyle a}a и {\displaystyle b}b — целые числа, причём {\displaystyle b\neq 0.}b\neq 0. Деление с остатком {\displaystyle a}a («делимого») на {\displaystyle b}b («делитель») означает нахождение таких целых чисел {\displaystyle q}q и {\displaystyle r}r, что выполняется равенство:
{\displaystyle a=b\cdot q+r}a=b\cdot q+r
Таким образом, результатами деления с остатком являются два целых числа: {\displaystyle q}q называется неполным частным от деления, а {\displaystyle r}r — остатком от деления. На остаток налагается дополнительное условие: {\displaystyle 0\leqslant r<|b|,}{\displaystyle 0\leqslant r<|b|,} то есть остаток от деления должен быть неотрицательным числом и по абсолютной величине меньше делителя. Это условие обеспечивает однозначность результатов деления с остатком для всех целых чисел, то есть существует единственное решение уравнения {\displaystyle a=b\cdot q+r}a=b\cdot q+r при заданных выше условиях. Если остаток равен нулю, говорят, что {\displaystyle a}a нацело делится на {\displaystyle b.}b.
Нахождение неполного частного также называют целочисленным делением, а нахождение остатка от деления называют взятием остатка или, неформально, делением по модулю (однако последний термин стоит избегать, так как он может привести к путанице с делением в кольце или группе вычетов по аналогии со сложением или умножением по модулю).
Примеры
При делении с остатком положительного числа {\displaystyle a=78}a=78 на {\displaystyle b=33}b=33 получаем неполное частное {\displaystyle q=2}q=2 и остаток {\displaystyle r=12}r=12.
Проверка: {\displaystyle 78=33\cdot 2+12.}78=33\cdot 2+12.
При делении с остатком отрицательного числа {\displaystyle a=-78}a=-78 на {\displaystyle b=33}b=33 получаем неполное частное {\displaystyle q=-3}q=-3 и остаток {\displaystyle r=21}r=21.
Проверка: {\displaystyle -78=33\cdot (-3)+21.}-78=33\cdot (-3)+21.
При делении с остатком отрицательного числа {\displaystyle a=-9}{\displaystyle a=-9} на {\displaystyle b=-13}{\displaystyle b=-13} получаем неполное частное {\displaystyle q=1}{\displaystyle q=1} и остаток {\displaystyle r=4}r = 4.
Проверка: {\displaystyle -9=1\cdot (-13)+4.}{\displaystyle -9=1\cdot (-13)+4.}
При делении с остатком положительного числа {\displaystyle a=9}{\displaystyle a=9} на {\displaystyle b=90}{\displaystyle b=90} получаем неполное частное {\displaystyle q=0}q=0 и остаток {\displaystyle r=9}{\displaystyle r=9}.
Проверка: {\displaystyle 9=90\cdot 0+9.}{\displaystyle 9=90\cdot 0+9.}
При делении с остатком числа {\displaystyle a=78}a=78 на {\displaystyle b=26}b=26 получаем неполное частное {\displaystyle q=3}q=3 и остаток {\displaystyle r=0}r=0, то есть деление выполняется нацело.
Операция деления с остатком может быть определена не только для целых чисел, но и для других математических объектов (например, для многочленов), см. ниже.
Объяснение:
можно лучший ответ