Решение логических выражений принято записывать в виде таблиц истинности – таблиц, в которых по действиям показано, какие значения принимает логическое выражение при всех возможных наборах его переменных.
При составлении таблицы истинности для логического выражения необходимо учитывать порядок выполнения логических операций, а именно:
действия в скобках,
инверсия (отрицание),
& (конъюнкция),
v (дизъюнкция),
=> (импликация),
<=> (эквивалентность).
Алгоритм составления таблицы истинности:
1. Выяснить количество строк в таблице (вычисляется как 2n, где n – количество переменных + строка заголовков столбцов).
2. Выяснить количество столбцов (вычисляется как количество переменных + количество логических операций).
3. Установить последовательность выполнения логических операций.
4. Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных логических переменных.
5. Заполнить таблицу истинности по столбцам.
6. Записать ответ.
Пример 6
Построим таблицу истинности для выражения F=(AvB)&(¬Av¬B).
1. Количество строк=22 (2 переменных+строка заголовков столбцов)=5.
2. Количество столбцов=2 логические переменные (А, В)+ 5 логических операций (v,&,¬,v,¬) = 7.
3. Расставим порядок выполнения операций: 1 5 2 4 3
(A v B) & (¬A v ¬B)
4-5. Построим таблицу и заполним ее по столбцам:
А
В
АvВ
¬А
¬В
¬Аv¬В
(AvB)&(¬Av¬B)
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
6. ответ: F=0, при A=B=0 и A=B=1
Пример 7
Построим таблицу истинности для логического выражения F=XvY&¬Z.
1. Количество строк=23+1=(3 переменных+строка заголовков столбцов)=9.
2. Количество столбцов=3 логические переменные+3 логических операций = 6.
Между двумя выражениями стоит операция ИЛИ, которая означает, что хотя бы одно из выражений должно быть истинным, чтобы всё выражение было истинным.
Возьмём первое выражение:
(Х < 3) и (X < 2)
Тут мы видим операцию И, которая указывает на то, что оба значения должны быть истинными, чтобы всё выражение было истинно, т. е. в данном выражении значение X должно быть < 2, чтобы выражение было истинным
(1 < 3) и (1 < 2) - true [истина]
(0 < 3) и (0 < 2) - true [истина]
и т. д.
Возьмём второе выражение:
(X > 2) и (X > 0)
Тут мы видим операцию И, которая указывает на то, что оба значения должны быть истинными, чтобы всё выражение было истинно, т. е. в данном выражении значение X должно быть > 2, чтобы выражение было истинным
(3 > 2) и (3 > 0) - true [истина]
(4 > 2) и (4 > 0) - true [истина]
и т. д.
Вернемся к тому, что между выражениями стоит операция ИЛИ, т. е. должны выполняться или левая, или правая часть. Приходим к итогу, что:
Решение логических выражений принято записывать в виде таблиц истинности – таблиц, в которых по действиям показано, какие значения принимает логическое выражение при всех возможных наборах его переменных.
При составлении таблицы истинности для логического выражения необходимо учитывать порядок выполнения логических операций, а именно:
действия в скобках,
инверсия (отрицание),
& (конъюнкция),
v (дизъюнкция),
=> (импликация),
<=> (эквивалентность).
Алгоритм составления таблицы истинности:
1. Выяснить количество строк в таблице (вычисляется как 2n, где n – количество переменных + строка заголовков столбцов).
2. Выяснить количество столбцов (вычисляется как количество переменных + количество логических операций).
3. Установить последовательность выполнения логических операций.
4. Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных логических переменных.
5. Заполнить таблицу истинности по столбцам.
6. Записать ответ.
Пример 6
Построим таблицу истинности для выражения F=(AvB)&(¬Av¬B).
1. Количество строк=22 (2 переменных+строка заголовков столбцов)=5.
2. Количество столбцов=2 логические переменные (А, В)+ 5 логических операций (v,&,¬,v,¬) = 7.
3. Расставим порядок выполнения операций: 1 5 2 4 3
(A v B) & (¬A v ¬B)
4-5. Построим таблицу и заполним ее по столбцам:
А
В
АvВ
¬А
¬В
¬Аv¬В
(AvB)&(¬Av¬B)
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
6. ответ: F=0, при A=B=0 и A=B=1
Пример 7
Построим таблицу истинности для логического выражения F=XvY&¬Z.
1. Количество строк=23+1=(3 переменных+строка заголовков столбцов)=9.
2. Количество столбцов=3 логические переменные+3 логических операций = 6.
3. Укажем порядок действий: 3 2 1
X v Y & ¬Z
4-5. Построим таблицу и заполним ее по столбцам:
X
Y
Z
¬Z
Y&¬Z
XvY&¬Z
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
6. ответ: F=0, при X=Y=Z=0; при X=Y=0 и Z=1.
x > 2
x < 2
Объяснение:
Операция И имеет приоритет перед операцией ИЛИ
((Х < 3) и (X < 2)) или ((X > 2) и (X > 0))
Между двумя выражениями стоит операция ИЛИ, которая означает, что хотя бы одно из выражений должно быть истинным, чтобы всё выражение было истинным.
Возьмём первое выражение:
(Х < 3) и (X < 2)
Тут мы видим операцию И, которая указывает на то, что оба значения должны быть истинными, чтобы всё выражение было истинно, т. е. в данном выражении значение X должно быть < 2, чтобы выражение было истинным
(1 < 3) и (1 < 2) - true [истина]
(0 < 3) и (0 < 2) - true [истина]
и т. д.
Возьмём второе выражение:
(X > 2) и (X > 0)
Тут мы видим операцию И, которая указывает на то, что оба значения должны быть истинными, чтобы всё выражение было истинно, т. е. в данном выражении значение X должно быть > 2, чтобы выражение было истинным
(3 > 2) и (3 > 0) - true [истина]
(4 > 2) и (4 > 0) - true [истина]
и т. д.
Вернемся к тому, что между выражениями стоит операция ИЛИ, т. е. должны выполняться или левая, или правая часть. Приходим к итогу, что:
x > 2x < 2