Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы две пересекающиеся прямые a и b. Будем считать, что прямой a соответствует общее уравнение прямой вида формула, а прямой b – вида формула. Пусть формула – некоторая точка плоскости, и требуется выяснить, является ли точка М0 точкой пересечения заданных прямых.
Решим поставленную задачу.
Если M0 является точкой пересечения прямых a и b, то по определению она принадлежит и прямой a и прямой b, то есть, ее координаты должны удовлетворять одновременно и уравнению формула и уравнению формула. Следовательно, нам нужно подставить координаты точки М0 в уравнения заданных прямых и посмотреть, получаются ли при этом два верных равенства. Если координаты точки М0 удовлетворяют обоим уравнениям формула и формула, то формула – точка пересечения прямых a и b, в противном случае М0 не является точкой пересечения прямых.
Пример.
Является ли точка М0 с координатами (2, -3) точкой пересечения прямых 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0? Решение.
Если М0 действительно точка пересечения заданных прямых, то ее координаты удовлетворяют уравнениям прямых. Проверим это, подставив координаты точки М0 в заданные уравнения: формула
Получили два верных равенства, следовательно, М0 (2, -3) - точка пересечения прямых 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0.
Для наглядности приведем чертеж, на котором изображены прямые и видны координаты точки их пересечения. изображение ответ:
да, точка М0 (2, -3) является точкой пересечения прямых 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0. Пример.
Пересекаются ли прямые 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 в точке M0 (2, -3)? Решение.
Подставим координаты точки М0 в уравнения прямых, этим действием будем осуществлена проверка принадлежности точки М0 обеим прямым одновременно: формула
Так как второе уравнение при подстановке в него координат точки М0 не обратилось в верное равенство, то точка М0 не принадлежит прямой 7x-2y+11=0. Из этого факта можно сделать вывод о том, что точка М0 не является точкой пересечения заданных прямых.
На чертеже также хорошо видно, что точка М0 не является точкой пересечения прямых 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0. Очевидно, заданные прямые пересекаются в точке с координатами (-1, 2). изображение ответ:
М0 (2, -3) не является точкой пересечения прямых 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0. Теперь можно переходить к задаче нахождения координат точки пересечения двух прямых по заданным уравнениям прямых на плоскости.
Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы две пересекающиеся прямые a и b уравнениями формула и формула соответственно. Обозначим точку пересечения заданных прямых как М0 и решим следующую задачу: найти координаты точки пересечения двух прямых a и b по известным уравнениям этих прямых формула и формула.
Точка M0 принадлежит каждой из пересекающихся прямых a и b по определению. Тогда координаты точки пересечения прямых a и b удовлетворяют одновременно и уравнению формула и уравнению формула. Следовательно, координаты точки пересечения двух прямых a и b являются решением системы уравнений формула (смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений).
Таким образом, чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, определенных на плоскости общими уравнениями, нужно решить систему, составленную из уравнений заданных прямых.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Найдите точку пересечения двух прямых, определенных в прямоугольной системе координат на плоскости уравнениями x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0. Решение.
Нам даны два общих уравнения прямых, составим из них систему: формула. Решения полученной системы уравнений легко находятся, если разрешить ее первое уравнение относительно переменной x и подставить это выражение во второе уравнение: формула
Найденное решение системы уравнений дает нам искомые координаты точки пересечения двух прямых. ответ:
M0 (4, 2) – точка пересечения прямых x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0. Итак, нахождение координат точки пересечения двух прямых, определенных общими уравнениями на плоскости, сводится к решению системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными переменными. А как же быть, если прямые на плоскости заданы не общими уравнениями, а уравнениями другого вида (смотрите виды уравнения прямой на плоскости)? В этих случаях можно сначала привести уравнения прямых к общему виду, а уже после этого находить координаты точки пересечения.
Пример.
Определите координаты точки пересечения прямых формула и формула. Решение.
Перед нахождением координат точки пересечения заданных прямых приведем их уравнения к общему виду. Переход от параметрических уравнений прямой формула к общему уравнению этой прямой выглядит следующим образом: формула
Теперь проведем необходимые действия с каноническим уравнением прямой формула: формула
Таким образом, искомые координаты точки пересечения прямых являются решением системы уравнений вида формула
Б) Пусть aК(n) - количество строк длины n, которые оканчиваются на К, и aA(n) - количество строк длины n, которые оканчиваются на А. Очевидно, aK(1) = aA(1) = 1.
Посчитаем, чему равны aK(n + 1) и aA(n + 1).
К можно дописать к любой строке, которая кончается на А. Поэтому aK(n + 1) = aA(n)A можно приписать вообще к любой строке. Значит, aA(n + 1) = aA(n) + aK(n)
Общее количество строк длины n > 2 равно a(n) = aK(n) + aA(n) = aA(n - 1) + a(n - 1) = a(n - 1) + a(n - 2).
Вычисляем значения a(n):
a(1) = 2
a(2) = 3 (АА, АК, КА)
a(3) = 2 + 3 = 5
a(4) = 3 + 5 = 8
a(5) = 5 + 8 = 13
a(6) = 8 + 13 = 21
a(7) = 13 + 21 = 34
a(8) = 21 + 34 = 55
a(9) = 34 + 55 = 89
В последовательности можно увидеть известную последовательность Фибоначчи.
В) Аналогично, введем aA(n), aК(n), aKK(n) - количество строк, оканчивающихся на А, ровно одно К и ровно два К. Общее количество строк будем так же обозначать как a(n).
aA(n + 1) = a(n)
aK(n + 2) = aA(n + 1) = a(n)
aKK(n + 3) = aK(n + 2) = a(n)
Итого, при n > 3 выполнено a(n) = a(n - 1) + a(n - 2) + a(n - 3).
a(1) = 2
a(2) = 4
a(3) = 7 (всего строк длины три 8, не подходит ККК).
a(4) = 2 + 4 + 7 = 13
a(5) = 4 + 7 + 13 = 24
a(6) = 7 + 13 + 24 = 44
a(7) = 13 + 24 + 44 = 81
a(8) = 24 + 44 + 81 = 149
a(9) = 44 + 81 + 149 = 274
a(10) = 81 + 149 + 274 = 504
Если в случае возникла последовательность Фибоначчи, то тут так называемая последовательность Трибоначчи - каждый новый член равен сумме трёх предыдущих
Решим поставленную задачу.
Если M0 является точкой пересечения прямых a и b, то по определению она принадлежит и прямой a и прямой b, то есть, ее координаты должны удовлетворять одновременно и уравнению формула и уравнению формула. Следовательно, нам нужно подставить координаты точки М0 в уравнения заданных прямых и посмотреть, получаются ли при этом два верных равенства. Если координаты точки М0 удовлетворяют обоим уравнениям формула и формула, то формула – точка пересечения прямых a и b, в противном случае М0 не является точкой пересечения прямых.
Пример.
Является ли точка М0 с координатами (2, -3) точкой пересечения прямых 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0?
Решение.
Если М0 действительно точка пересечения заданных прямых, то ее координаты удовлетворяют уравнениям прямых. Проверим это, подставив координаты точки М0 в заданные уравнения:
формула
Получили два верных равенства, следовательно, М0 (2, -3) - точка пересечения прямых 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0.
Для наглядности приведем чертеж, на котором изображены прямые и видны координаты точки их пересечения.
изображение
ответ:
да, точка М0 (2, -3) является точкой пересечения прямых 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0.
Пример.
Пересекаются ли прямые 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 в точке M0 (2, -3)?
Решение.
Подставим координаты точки М0 в уравнения прямых, этим действием будем осуществлена проверка принадлежности точки М0 обеим прямым одновременно:
формула
Так как второе уравнение при подстановке в него координат точки М0 не обратилось в верное равенство, то точка М0 не принадлежит прямой 7x-2y+11=0. Из этого факта можно сделать вывод о том, что точка М0 не является точкой пересечения заданных прямых.
На чертеже также хорошо видно, что точка М0 не является точкой пересечения прямых 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0. Очевидно, заданные прямые пересекаются в точке с координатами (-1, 2).
изображение
ответ:
М0 (2, -3) не является точкой пересечения прямых 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0.
Теперь можно переходить к задаче нахождения координат точки пересечения двух прямых по заданным уравнениям прямых на плоскости.
Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы две пересекающиеся прямые a и b уравнениями формула и формула соответственно. Обозначим точку пересечения заданных прямых как М0 и решим следующую задачу: найти координаты точки пересечения двух прямых a и b по известным уравнениям этих прямых формула и формула.
Точка M0 принадлежит каждой из пересекающихся прямых a и b по определению. Тогда координаты точки пересечения прямых a и b удовлетворяют одновременно и уравнению формула и уравнению формула. Следовательно, координаты точки пересечения двух прямых a и b являются решением системы уравнений формула (смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений).
Таким образом, чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, определенных на плоскости общими уравнениями, нужно решить систему, составленную из уравнений заданных прямых.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Найдите точку пересечения двух прямых, определенных в прямоугольной системе координат на плоскости уравнениями x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0.
Решение.
Нам даны два общих уравнения прямых, составим из них систему: формула. Решения полученной системы уравнений легко находятся, если разрешить ее первое уравнение относительно переменной x и подставить это выражение во второе уравнение:
формула
Найденное решение системы уравнений дает нам искомые координаты точки пересечения двух прямых.
ответ:
M0 (4, 2) – точка пересечения прямых x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0.
Итак, нахождение координат точки пересечения двух прямых, определенных общими уравнениями на плоскости, сводится к решению системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными переменными. А как же быть, если прямые на плоскости заданы не общими уравнениями, а уравнениями другого вида (смотрите виды уравнения прямой на плоскости)? В этих случаях можно сначала привести уравнения прямых к общему виду, а уже после этого находить координаты точки пересечения.
Пример.
Определите координаты точки пересечения прямых формула и формула.
Решение.
Перед нахождением координат точки пересечения заданных прямых приведем их уравнения к общему виду. Переход от параметрических уравнений прямой формула к общему уравнению этой прямой выглядит следующим образом:
формула
Теперь проведем необходимые действия с каноническим уравнением прямой формула:
формула
Таким образом, искомые координаты точки пересечения прямых являются решением системы уравнений вида формула
89, 504
Объяснение:
Б) Пусть aК(n) - количество строк длины n, которые оканчиваются на К, и aA(n) - количество строк длины n, которые оканчиваются на А. Очевидно, aK(1) = aA(1) = 1.
Посчитаем, чему равны aK(n + 1) и aA(n + 1).
К можно дописать к любой строке, которая кончается на А. Поэтому aK(n + 1) = aA(n)A можно приписать вообще к любой строке. Значит, aA(n + 1) = aA(n) + aK(n)Общее количество строк длины n > 2 равно a(n) = aK(n) + aA(n) = aA(n - 1) + a(n - 1) = a(n - 1) + a(n - 2).
Вычисляем значения a(n):
a(1) = 2
a(2) = 3 (АА, АК, КА)
a(3) = 2 + 3 = 5
a(4) = 3 + 5 = 8
a(5) = 5 + 8 = 13
a(6) = 8 + 13 = 21
a(7) = 13 + 21 = 34
a(8) = 21 + 34 = 55
a(9) = 34 + 55 = 89
В последовательности можно увидеть известную последовательность Фибоначчи.
В) Аналогично, введем aA(n), aК(n), aKK(n) - количество строк, оканчивающихся на А, ровно одно К и ровно два К. Общее количество строк будем так же обозначать как a(n).
aA(n + 1) = a(n)
aK(n + 2) = aA(n + 1) = a(n)
aKK(n + 3) = aK(n + 2) = a(n)
Итого, при n > 3 выполнено a(n) = a(n - 1) + a(n - 2) + a(n - 3).
a(1) = 2
a(2) = 4
a(3) = 7 (всего строк длины три 8, не подходит ККК).
a(4) = 2 + 4 + 7 = 13
a(5) = 4 + 7 + 13 = 24
a(6) = 7 + 13 + 24 = 44
a(7) = 13 + 24 + 44 = 81
a(8) = 24 + 44 + 81 = 149
a(9) = 44 + 81 + 149 = 274
a(10) = 81 + 149 + 274 = 504
Если в случае возникла последовательность Фибоначчи, то тут так называемая последовательность Трибоначчи - каждый новый член равен сумме трёх предыдущих