1) Изобразите прямоугольную систему координат Охуz и постройте точки: А(4, 3, 6), В(5, 0, 0), С(0, 0, 6), D(-5, 0, 3), Е(3, 4, 0), F(0, 3, 6), G(0, 4, 0), K(5, -4, 2), М ( -3, 5, -3).
2) Какие из этих точек лежат в плоскости: а) Оху; б) Оуz; в) Охz.
3) Какие из этих точек лежат на прямой: а) Ох; б) Оу; в) Оz.
4) Найдите координаты проекции точки А на а) плоскость Оху; Оуz; Охz; б) на ось Ох; Оу; Оz.
2. а) Дан куб с ребром, равным 4. Определите
координаты его вершин.
б) Дан прямоугольный параллелепипед,
измерения которого равны 6;4;4. Определите
координаты его вершин.
3. Докажите, что ABCD — ромб, если А(11; 3; 5), В(5; 3; –7), С(–5; –5; –11), D(1; –5; 1).
4. Даны точки A (1; 0; k), B (-1; 2; 3), C (0; 0; 1). При каких значениях k треугольник ABC является
равнобедренным?
5. Запишите уравнение сферы с центром в точке О(1;2;-1), проходящей через точку
а) М(1;0;0), б) K(1;0;1), в) N(0;0;0-1)
6. Вершины треугольника АВС имеют координаты А(-2; 0; 1), В(-1; 2; 3), С(8; -4; 9). Найдите
координаты вектора ВМ , если отрезок ВМ – медиана треугольника АВС.
7. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Изобразите на рисунке векторы, равные:
а) АС 1 + 1 + 1 + , б) – 1 1 , в) 1 1 + + 1 + 1 , г) – 1
На пути к царству Кощея Бессмертного Ивану-Царевичу встретились (по порядку):
1. Мудрый старичок. Он дал Ивану-царевичу клубок, который потом указывал, куда идти.
2. Медведь. Иван -царевич его первого встретил в чистом поле и не стал стрелять.
3. Селезень. Он летел над Иваном царевичем. Тот прицелился, но стрелять не стал.
4. Заяц. И его не стал стрелять.
5. Щука. Она лежала на песке у синего моря, задыхалась. Иван-царевич ее и бросил в воду.
6. Баба-яга. До ее избушки в лесу докатился клубочек, когда Иван-царевич шел берегом моря.
И в том же порядке герои добыть иглу со смертью Кащея Бессмертного. Медведь выворотил с корнем дуб, на котором стоял сундук. Заяц догнал выскочившего из разбитого сундука зайца, селезень – вылетевшую из зайца утку. Щука достала выпавшее из утки в море яйцо, в котором и была игла.
В первом случае время пути - s/x
Во втором случае - (s/2):(2x)+(s/2):(x/2)=s/4x+s/x
Очевидно, во втором случае затраченное время будет больше: не s/x, а s/x + еще некоторое время (s/4x). Значит, быстрее проехать весь путь на велосипеде.
Для проверки можно предположить, например, что скорость велосипеда - 20 км/ч, а путь, который нужно проехать - 40 км. На велосипеде этот путь будет преодолен за 40/20=2 часа. Полпути на мотоцикле - (40/2):(2x20)=20/40=1/2 часа, оставшиеся полпути пешком - (40/2):(20/2)=20/10=2 часа. Итого весь путь на мотоцикле и пешком займет 1/2ч+2ч=2ч 30 минут, на полчаса больше, чем путь на велосипеде.