(1) известно, что вектор а направлен противоположно вектору b (-18; 9; - 6) и |вектор a|= 7. найдите сумму координат вектора а.
(2)при каких значениях m векторы а ( m²; -5; 1) и b (1; 1; -4) перпендикулярны?
(3) найдите косинус угла между векторами a (3; 2; 1) и b (1; 1; 2).
(4) точки a (2; 3; -5), c (3; 6; 8) и d (5; 4; -1) являются вершинами параллелограмма abcd. найдите длину диагонали bd.
(5) a (1; 3; -1),b (2; 4; 5) и c (8; 5; 6) являются вершинами ромба abcd. найдите длину диагонали вd.
(6) найдите градусную меру угла между вектором a (-1; √7; -2√2) и осью oz
(7) найдите градусную меру угла между вектором a(-√7; -√10; √11) и осью абсцисс.
(8) найти | вектор b |, если | а|= корень из 137, | вектор а + вектор =20 и | вектор a- вектор b |=18.
Обозначим центр окружности сечения O' и ее радиус r.
Расстояние от O до O' равно ρ.
Длина окружности сечения L равна 2πr.
Возьмем плоскость β так, чтобы она была перпендикулярна α и содержала центр сферы.
Плоскости α и β пересекаются по прямой a, которая пересекает сферу в точках A и B. OA = OB = R.
При этом, точки A и B являются диаметрально-противоположными точками окружности сечения O'. Значит, O'A = O'B = r. При этом точка O' лежит в плоскости β.
Рассмотрим треугольник OO'A.
OO' ⊥ AB, OA = R, O'A = r, OO' = ρ
По теореме Пифагора имеем равенство: R² = r² + ρ² ⇒ r² = R² - ρ².
r² = 14² - 8² = (14-8)(14+8) = 6*22 = 12*11.
r = √(12*11) = 2√33.
L = 2πr = 2·2√33·π = 4π√33
Вероятность достать не учебник первый раз равна (10-3)/10 = 7/10.
Вероятность достать не учебник во второй раз равна (9-3)/9 = 6/9 = 2/3 (второй раз книга берется в случае, если в первый взяли не учебник. На полке осталось 9 книг, из них по-прежнему 3 - учебники).
Полная вероятность равна произведению вероятностей этих вариантов:
7/10 · 2/3 = 7/15.
Значит, вероятность получить среди 2 книг учебник равна 1 - 7/15 = 8/15 > 1/2(!).
---
Можно сосчитать и напрямую. Варианты достать учебник с полки у нас такие:
1. Достать учебник и учебник. Вероятность равна 3/10 · 2/9 = 1/15 = 2/30.
2. Достать учебник и книгу. Вероятность равна 3/10 · 7/9 = 7/30.
3. Достать книгу и учебник. Вероятность равна 7/10 · 3/9 = 7/30.
Полная вероятность равна 2/30 + 7/30 + 7/30 = 16/30 = 8/15.