Irkuzmina

31.03.2020 13:45 •  Математика

1. Какую цифру можно написать вместо звёздочки так, чтобы число (a) 269 ∗ 6 делилось на 4?
(b) 2 ∗ 45 делось на 9?
(c) 2 ∗ 45 делилось на 3?
(d) 5417∗ делилось на 6?
Во всех пунктах этой задачи необходимо найти все возможные ответы.

2. Запишите наименьшее 10-значное число в котором
(a) все цифры различны, и оно делится на 4;
(b) все цифры различны, и оно делится на 25.

3. Делится ли число
(a) 11 · 21 · 31 · . . . · 91 − 1 на 5?
(b) 19 · 29 · 39 · . . . · 99 + 1 на 5?

4. В стране Цифра есть 9 городов с названиями1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр — названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 9?

5. Известно, что 1 · 2 · 3 · . . . · 35 = 10333147966386144929 ∗ 66651337523200000000.
Найдите цифру, замененную звездочкой.

6. На доске написано число, состоящее только из цифр 5 и 6 и делящееся на 9.
У этого числа стерли три последние цифры. Оказалось, что полученное число также делится на 9.
Докажите, что первоначальное число не делится на 4.

7. Фрекен Бок спрятала плюшки в сейф, а Карлсон с Малышом хотят их оттуда достать. Они знают, что код от сейфа состоит из 7 цифр — двоек и троек, причем двоек больше, чем троек. И что код делится и на 3, и на 4. Смогут ли Малыш и Карлсон с первой попытки открыть сейф?