1) На перерві до буфету зайшли всі студенти групи. З них 2 студенти купили каву, 5 студентів — булочки, 15 сту-
дентів
сік, причому 3 студенти купили і булочку,
і сік. Скільки всього студентів у групі, якщо кожний
здійснив покупку?
2) Усі учні класу вивчають іноземні мови: кілька учнів
німецьку, причому 16 учнів
англійську, а 20 учнів
вивчають обидві мови. Скільки учнів класу вивчають
англійську мову, якщо в класі 26 учнів?
3) Відомо, що 18 мешканців дачного кооперативу вирощу-
ють картоплю і редис, 16 із них вирощують картоплю,
а 12
редис. Скільки дачників вирощують і картоплю,
вні заняття з математики
і редис разом?
Одним из наиболее мощных методов интегрирования является замена переменной в интеграле. Поясним суть этого метода. Пусть F'(x)=f(x), тогда
\int f(x)\,dx= \int F'(x)\,dx= \int d\bigl(F(x)\bigr)=F(x)+C.
Но в силу инвариантности формы дифференциала равенство d\bigl(F(x)\bigr)=F'(x)\,dx= f(x)\,dx остается справедливым и в случае, когда {x} — промежуточный аргумент, т.е. x=\varphi(t). Это значит, что формула \textstyle{\int f(x)\,dx=F(x)+C} верна и при x=\varphi(t). Таким образом,
\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,d\bigl(\varphi(t)\bigr)= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C, или \int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C.
Итак, если F(t) является первообразной для f(x) на промежутке {X}, а x=\varphi(t) — дифференцируемая на промежутке {T} функция, значения которой принадлежат {X}, то F\bigl(\varphi(t)\bigr) — первообразная для f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t),~t\in T, и, следовательно,
\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= \int f(x)\,dx\,.
Эта формула позволяет свести вычисление интеграла \textstyle{\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt} к вычислению интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx}. При этом мы подставляем вместо \varphi(t) переменную {x}, а вместо \varphi'(t)\,dt дифференциал этой переменной, т. е. dx. Поэтому полученная формула называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Она используется на практике как "слева направо", так и "справа налево". Метод замены переменной позволяет сводить многие интегралы к табличным. После вычисления интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx} надо снова заменить {x} на \varphi(t).
Пример 1. Вычислим \int\cos2t\,dt.
Решение. Введем новую переменную {x}, положив 2t=x. Тогда 2\,dt=dx,~dt=\frac{1}{2}\,dx и, следовательно,
\int\cos2t\,dt= \int\cos{x}\,\frac{1}{2}\,dx= \frac{1}{2}\int\cos{x}\,dx= \frac{1}{2}\sin{x}+C= \frac{1}{2}\sin2t+C.
Замечание. Вычисление короче записывают так:
\int\cos2t\,dt= \frac{1}{2}\int\cos2t\,d(2t)= \frac{1}{2}\sin2t+C.
Пошаговое объяснение:
3Место, где вели бои воины 277-й стрелковой дивизии1942 - 1943 гг.не установленул. Елецкая, 142, школа N 104 4Место, где формировался и размещался железнодорожный взвод коммунистического батальона Совета Народных Комиссаров СССРавгуст - сентябрь 1918 г.не установленул. Клубная, Клуб 25-летия "Октября" 5Место, где вели ожесточенные бои 62, 64 и 57-я армии1942 - 1943 гг.не установленул. Радомская, сквер5Место боев воинов 140-го минометного полка и 20-й мотострелковой бригады в дни Сталинградской битвы1942 - 1943 гг.не установленул. Ставропольская, 71, школа N 14 6Место, где размещался командный пункт 20-й мотострелковой бригадысентябрь 1942 г.не установленул. Ставропольская, 71 школа N 14 7Дом, в котором родился и жил комсомолец - партизан Саша Филиппов, погибший в Сталинградской битве1925 - 1942 гг.не установленул. С. Филиппова, 65 8Братская могила защитников Красного Царицына1918-1919 гг.архитектор Калиниченко В.П.сквер ж.д. ст. Волгоград-II, правый берег р. Царицы 9Могила летчика - истребителя капитана Елисеева Г.Н.1937-1973 ггархитектор Ершова Д.В., скульптор Павловский М.Д.пос. Дар-Гора, гражданское кладбище 10Братская могила советских воинов и рабочих1942-1943 гг.архитектор Кудряков В.М.пос. Дар-Гора, гражданское кладбище 11Братская могила защитников Красного Царицына1918-1919 гг.архитектор Кудряков В.М.ул. Пугачевская 12Могила комсомольца - партизана С. Филиппова1942 гскульптор Малков Г.Л., архитектор Коваленко Г.М.сквер им. С. Филиппова на ул. Академической 13"ЗИС-5", установленный в честь автомобилистов Отечественной войны1985 г.архитекторЛевитан Е.И.станция Садовая