Fenef

16.10.2022 05:32 •  Математика

1.  Прямоугольные треугольники  (0 Б.) Свойства прямоугольного треугольника

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника∡ 1 + ∡ 2= 90°.

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в 30°).

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∡ A — прямой, ∡ B= 30°, и значит, что ∡ C= 60°.

 

Докажем, что BC=2AC.

Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD, как показано на рисунке.

Получим треугольник BCD, в котором ∡ B= ∡ D= 60°, поэтому DC=BC. Но DC=2AC. Следовательно, BC=2AC.

 

Справедливо и обратное суждение.

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Основываясь на общих признаках равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства, потому что в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны.

1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

 

2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

 

3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

 

4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

2.  Сумма острых углов прямоугольного треугольника  (1 Б.)

Дан прямоугольный треугольник DBK.

 

B

  

D                                      K

 

Определи ∡ B, если ∡ K = 70°.

 

∡ B =

°.

3.  Части угла прямоугольного треугольника  (3 Б.)

Дан прямоугольный треугольник BAD.

BC — отрезок, который делит прямой угол ABD на две части.

 

Сделай соответствующий рисунок и определи угол CBA, если угол DBC равен 49°.

 

ответ: ∢CBA= °.

4.  Сумма острых углов прямоугольного треугольника и внешний угол  (2 Б.)

Дан прямоугольный треугольник MNF и внешний угол угла ∡ F.

 

N

   

M                                      F                   P

 

Определи величины острых углов данного треугольника, если ∡ NFP = 165°.

 

∡ F =

°;

 

∡ N =

°.

5.  Свойство катета прямоугольного треугольника  (2 Б.)

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма меньшего катета и гипотенузы равна 9 см.

Определи длину меньшего катета.

 

1. Величина второго острого угла равна 

°.

2. Длина меньшего катета равна

см.

6.  Определение величины углов  (3 Б.)

 

В равнобедренном треугольнике ABC проведена высота BD к основанию AC.

Длина высоты — 14 см, длина боковой стороны — 28 см.

Определи углы этого треугольника.

 

∡ BAC =

°;

 

∡ BCA =

°;

 

∡ ABC =

°.

7.  Сравнение отрезков  (3 Б.)

                             P

K                      R                                                                       D                  

    

Сравни длины отрезков, выходящих из вершины P, если ∡K=75°, ∡D=50°.

 

Расположи отрезки в порядке возрастания их длин:

 

 <

 <

 

Варианты ответов:

PR

PK

PD

8.  Углы равнобедренного треугольника  (3 Б.)

 

В равнобедренном треугольнике ABC величина угла при  вершине B равна 26°. Определи угол между основанием AC и высотой AM, проведённой к боковой стороне.

 

∡ MAC =

°.

9.  Угол между высотами треугольника  (3 Б.)

 

Высоты треугольника пересекаются в точке O.

Величина угла ∡ BAC = 79°, величина угла ∡ ABC = 70°.

Определи угол ∡ AOB.

 

∡ AOB =

°.

10.  Определение углов  (3 Б.)

 

                               B

 

O                      T                                                                       M

 

В треугольнике OBM проведена высота BT.

Известно, что ∡ BOM = 30° и ∡ OBM = 106°.

Определи углы треугольника TBM.

 

∡ BTM =

°;

 

∡ TBM =

°;

 

∡ BMT =

°.

11.  Угол между данными отрезками в равнобедренном треугольнике  (4 Б.)

 

В равнобедренном треугольнике к боковой стороне проведена высота и биссектриса угла, прилежащего к основанию.

Определи угол между высотой и биссектрисой, если угол вершины ∡ B = 22°.

 

∡ MAN =

°.

12.  Сумма острых углов прямоугольного треугольника и внешний угол  (2 Б.)

Дан прямоугольный треугольник MNF и внешний угол угла ∡ F.

 

N

   

M                                      F                   R

 

Определи величины острых углов данного треугольника, если ∡ NFR = 164°.

 

∡ F =

°;

 

∡ N =

°.

13.  Свойство катета прямоугольного треугольника  (2 Б.)

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма меньшего катета и гипотенузы равна 15 см.

Определи длину меньшего катета.

 

1. Величина второго острого угла равна 

°.

2. Длина меньшего катета равна

см.

14.  Углы равнобедренного треугольника  (3 Б.)

 

В равнобедренном треугольнике ABC величина угла при  вершине B равна 60°. Определи угол между основанием AC и высотой AM, проведённой к боковой стороне.

 

∡ MAC =

°.

15.  Углы в прямоугольном треугольнике  (2 Б.)

В прямоугольном треугольнике проведена высота к гипотенузе.

Какие углы эта высота образует с катетами, если больший из острых углов этого треугольника равен 62°?

 

1. Угол с меньшим катетом равен 

°.

 

2. Угол с большим катетом равен 

°.

1​