1.В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см. Вычислите полную поверхность призмы, если ее объем равен 1170 см3. 2. По стороне основания, равной 6 см, и боковому ребру, равному 5 см, найдите объем правильной треугольной призмы.

3. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 9 см, 15 см и 25 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.

4. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 18 см и 24 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Перепишем уравнение z=y*√x-2y^2-x+14y в виде

F(x,y,z)=y*√x-2y^2-x+14y-z - это уравнение поверхности.

Запишем известные формулы для уравнений касательной плоскости и плоскости нормали к поверхности в заданной точке (формулы записаны в частных производных, d - знак частной производной):

  Уравнение касательной:

dF/dx*(x-x₀)+dF/dy*(y-y₀)+dF/dz*(z-z₀)=0             (1)

  Уравнение нормали:

(x-x₀)/(dF/dx)=(y-y₀)/(dF/dy)=(z-z₀)/(dF/dz)            (2)

x₀=1; y₀=0; z₀=-1 - координаты т. M(1;0;-1).

Т.е. все сводится к нахождению частных производных.

   1) dF/dx=d(y*√x)/dx - d(2y^2)/dx - dx/dx + d(14y)/dx - dz/dx

     dF/dx=y*d(√x)/dx - 0 - 1 + 0 - 0

     dF/dx=y*(1/(2*√x)) - 1

     dF/dx=y/(2*√x) - 1                    (3)                

     Найдем dF/dx в т. M(1;0;-1). Подставим x=1; y=0; z=-1 в (3):

    dF/dx=0/(2*√1)-1 = -1              (4)

2) dF/dy=d(y*√x)/dy - d(2y^2)/dy - dx/dy + d(14y)/dy - dz/dy

     dF/dy=(√x)*dy/dy - 2*d(y^2)/dy - 0 + 14*dy/dy - 0

     dF/dy=(√x)*1 - 2*2y + 14*1

      dF/dy=√x - 4y + 14

     Найдем dF/dy в т. M(1;0;-1):

      dF/dy=√1 - 4*0 + 14 = 15       (5)

3)  dF/dz=d(y*√x)/dz - d(2y^2)/dz - dx/dz + d(14y)/dz - dz/dz

      dF/dz=0 - 0 - 0 + 0 - 1= -1        (6) 

Теперь подставим (4), (5), (6) и x₀=1; y₀=0; z₀=-1 - координаты т. M(1;0;-1) в (1):

-1*(x-1)+15*(y-0)-1*(z-(-1))=0

-x+1+15y-z-1=0

-x+15y-z=0 - уравнение касательной.

Теперь подставим (4), (5), (6) и x₀=1; y₀=0; z₀=-1 - координаты т. M(1;0;-1) в (2):

(x-1)/(-1)=(y-0)/15=(z-(-1))/(-1)

(x-1)/(-1)=y/15=(z+1)/(-1) - уравнение нормали.

ответ: -x+15y-z=0 - уравнение касательной

             (x-1)/(-1)=y/15=(z+1)/(-1) - уравнение нормали

V₁, S₁, t₁ - скорость, путь и время в пути 1-ого велосепидиста

V₂, S₂, t₂ - скорость, путь и время в пути 2-ого велосепидиста

S₀ - начальное расстояние между велосепидистами

S  - конечное расстояние между велосепидистами

S=S₀-(S₁+S₂)   (1)

S₁=V₁* t₁           (2)

S₂=V₂*t₂            (3)

Подставим (2) и (3) в (1):

S=S₀-(V₁* t₁+V₂*t₂)  (4)

Очевидно, что t₁=t₂=t. Тогда t - искомомое время.

Перепишем (4):

S=S₀-t*(V₁+V₂)

S₀-S=t*(V₁+V₂)

t=(S₀-S)/(V₁+V₂)     (5)

Нам не известно V₂. Найдем его из условия:

V₁=0,6*V₂

V₂=V₁/0,6                 (6)

Подставим (5) в (6):

t=(S₀-S)/(V₁+V₁/0,6)=(51-22,44)/(15,3+15,3/0,6)=28,56/40,8=0,7 (ч) или 42 мин

ответ: 42 мин