1. Выберите верное утверждение: а) если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая
прямая лежит в данной плоскости;
б) если плоскость проходит через прямую, параллельную плоскости β, то плоскость α
параллельна плоскости β;
в) если две прямые пересекают плоскость, то оно параллельны;
г) прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
2. Назовите все пары скрещивающихся ребер тетраэдра PABC.
3. Точка Т – точка пересечения диагоналей грани ВВ1С1С куба ABCDA1B1C1D1. Прямая
проходит через точку Т и параллельна прямой АВ1. Вычислите площадь полной
поверхности куба, если длина отрезка прямой , расположенного внутри куба, равна 4 см.
4. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точки О и К – середины рёбер СС1 и АВ.
Вычислите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки О и К
параллельной ребру АС, если АС=20 см, АА1=10 см.

5. В правильной треугольной пирамиде FABC, боковое ребро которой равно стороне
основания, точка Р – середина FB, точка D – середина ребра ВС. Найдите косинус угла
между прямыми AP и FD.

Даны вершины треугольника: A(-1; 2), B(1; -3), C(6; 4).

Найти высоту АК можно несколькими

1 - найти длины сторон, затем по формуле Герона найти площадь АВС.

Тогда AK = 2S/BC.

2 - векторным далее опять AK = 2S/BC.

3 - найти уравнение прямой в виде Ax+By+C=0, включающей сторону ВС треугольника.

Тогда АК = d = (A*x(A)+B*y(A)+C)/(√(A² + B²).

4 - есть вариант с прямым использованием координат вершин.

Площадь треугольника по формуле:    

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)|.    

S = 19,5  

Высоты треугольника АА1 = 2S/BC = 4,533657911

                          ВВ1 = 2S/AC = 5,357061994

                           СС1 = 2S/AB = 7,242118189 .

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, параллельно двум другим векторам.               Смешанное произведение этих векторов равно нулю:

  Точка M   Вектор p1  Вектор p2    

.   x1 y1 z1  x2 y2 z2  x3 y3 z3  

  3 0 -1  2 1 -3  0 -2 6  

x - xo      y - yo       z - zo       x - xo      y - yo  

2           1           -3              2          1  

0         -2          6             0          -2  =          

= 6*(x - x(M)) + 0*(y - yo(M)) +  -4*(z - z(M)) -

-12*(y - yo) +  -6*(x - xo) +  0*(z - zo) =        

= 0*x - 12*y + -4*z - 4 = 0   или, сократив на (-4), получаем

ответ: 3y + z + 1 = 0.