Сейчас для письма люди используют так называемые арабские цифры, которые появились в Индии. Сперва они имели вид начальных букв слов, которые соответствовали им на санскрите («девангаре») – древнеиндийском языке. Одним из важнейших этапов в развитии системы чисел стало введение нуля, который раньше имел вид жирной точечки или маленького кружка. Это позволило ограничиться довольно небольшим количеством знаков. Такая нумерация со временем превратилась в десятичную поместную систему чисел. Но когда точно это произошло – неизвестно.
Решения, а «идея» | это путь к решению. Как работать с книгой Осваивать идеи и методы решения задач можно двумя сначала прочитать описание идеи, потом ра- зобрать примеры, потом порешать задачи на эту тему, или 2) сразу начать с задач, чтобы самим уловить идею, а уже потом прочитать комментарии и разобрать примеры. Решать задачи мы советуем не все подряд, а выбирая те, которые вам интересны. Если какая-то задача особенно понравилась, то, решив её, не переходите сразу к следующей, а подумайте еще над этой. Попробуйте понять: • какие идеи привели к решению, чем эта задача похожа или не похожа на другие задачи; • где в решении использованы те или иные данные, пе- рестанет ли утверждение быть верным, если какое-то условие убрать или ослабить; • можно ли данные и ответ поменять местами, т. е. верно ли обратное утверждение; • можно ли обобщить задачу или вывести интересные следствия. Не стремитесь решать много задач. Если вы решите за день одну{две задачи и хорошо всё продумаете, то это будет лучше чем решить десять задач поверхностно. Важно не количество решенных задач, а то новое, что удалось понять. Если у вас после решения хорошей задачи поднимается настроение | это признак успешной работы. Часть I Идеи и методы решения задач Поиск родственных задач Если задача трудна, то попытайтесь найти и решить более простую «родственную» задачу. Это часто даёт ключ к решению исходной следующие соображения: • рассмотреть частный (более простой) случай, а затем обобщить идею решения; • разбить задачу на подзадачи (например, необходимость и достаточность); • обобщить задачу (например, заменить конкретное число переменной); • свести задачу к более простой (см. тему «Причёсывание задач»). Пример 1. В угловой клетке таблицы 5×5 стоит плюс, а в остальных клетках стоят минусы. Разрешается в любой строке или любом столбце поменять все знаки на противо- положные. Можно ли за несколько таких операций сделать все знаки плюсами? Решение. Возьмём квадрат поменьше, размера 2 × 2, в котором стоят один плюс и три минуса. Можно ли сделать все знаки плюсами? Несложный перебор показывает, что нельзя. Поиск родственных задач 7 Воспользуемся этим результатом: выделим в квадрате 5×5 квадратик 2×2, содержащий один плюс. Про него уже известно, что сделать все знаки плюсами нельзя. Значит, в квадрате 5 × 5 и подавно. Пример 2. Постройте общую внешнюю касательную к двум окружностям. Решение. Если одна из окружностей будет точкой, то задача станет легче (вспомните, как из точки провести касательную). Пусть ❖1 и r1 | центр и радиус меньшей окружности, ❖2 и r2 | центр и радиус большей окружности. Рассмо- трим прямую, проходящую через ❖1 и параллельную общей касательной. (рис. 1). Эта прямая удалена от ❖2 на рассто- яние r2 − r1, значит, является касательной к окружности с центром ❖2 и радиусом r2 − r1. Построим эту окружность. Из точки ❖1 проведём касательную к ней. Пусть ❈ | точка касания. На прямой ❖2❈ лежит искомая точка касания. O2 O1 r1 r2 r2−r1 Рис. 1 Задачи I 1. Легко распилить кубик 3 × 3 × 3 на 27 кубиков шестью распилами. Можно ли уменьшить число распилов, если раз- решается перекладывать части перед тем каое число в них полусум- мой этих чисел. Какое наименьшее число можно получить в первой ячейке? Решение. Нетрудно получить число 1 2 8 , усредняя число в первой ячейке со всеми остальными по очереди. Труднее доказать, что меньше получить нельзя.
