1) Знайти НСД та НСК чисел 1248 та 1716, записавши обидва цих числа у канонічному вигляді та за до алгоритму Евкліда.
2) Довести, що при непарному n 9^n + 13^n кратне 11.
3) Довести, що 8210 – 1 ділиться без залишку на 473.
4) Виконати обчислення
(3 + i)^2
Z =
4 + 3*i
5) Розв’язати рівняння z3 = -8.
6) Методом математичної індукції довести, що при будь-якому натуральному n
n^3 + 11*n кратне 6.
1) НОД и НОК чисел 1248 и 1716, записав оба этих числа в
каноническом виде и с алгоритма Евклида.
2) Доказать, что при нечетном n 9 ^ n + 13 ^ n кратное 11.
3) Доказать, что 8210 - 1 делится без остатка на 473.
4) Выполнить вычисления
(3 + i) ^ 2
Z =
4 + 3 * i
5) Решить уравнение z3 = 8.
6) Методом математической индукции доказать, что при любом натуральном n
n ^ 3 + 11 * n кратное 6.
1.Вначале определим, какое количество листов истратила машинистка на 3 рукописи, если каждая была по 90 листов:
3 * 90 = 270 листов.
2. Теперь определим, какое количество листов машинистка истратила на 6 рукописей, если на каждую из них она потратила по 70 листов:
6 * 70 = 420 листов.
3. Сложим количество листов, затраченных на 3 и 6 рукописей, получим общее количество листов, потраченных машинисткой:
270 + 420 = 690.
4. Наконец, отнимем от всех листов, что были у машинистки, те, которые она потратила, получим количество листов, которое осталось у машинистки:
900 - 690 = 210.
ответ: у машинистки осталось 210 листов бумаги.
Пошаговое объяснение:
Предположим, что утверждение задачи не верно. Обозначим сумму цифр числа n через S(n). Среди любых 39 последовательных натуральных чисел обязательно найдётся не менее трёх делящихся на 10; пусть a минимальное из них. При этом получаем, что среди данных 39 чисел также есть и a + 1,..., a + 29. Поскольку a делится на 10, то S(a + 1) = S(a) + 1, S(a + 2) = S(a) + 2,..., S(a + 9) = S(a) + 9. Поэтому среди чисел a, a + 1,..., a + 9 не встречается число, сумма цифр которого делится на 11, только если S(a) $ \equiv$ 1 mod 11. При этом если a + 10 не делится на 100, то S(a + 10) = S(a) + 1, а значит, среди чисел a + 10, a + 11,..., a + 19 найдётся такое, что сумма его цифр делится на 11. Получили противоречие. Осталось рассмотреть случай, когда a + 10 делится на 100. Но тогда заметим, что S(a + 20) = S(a + 10) + 1, а значит, аналогично первому случаю среди чисел a + 10, a + 11,..., a + 29 найдётся число, сумма цифр которого делится на 11. Опять получили противоречие, значит, утверждение задачи верно.