Обозначим расстояние AB = x. В момент встречи велосипедист со скоростью Vv проехал 4 км, а мотоциклист со скоростью Vm проехал x-4 км, за одно и тоже время t. t = 4/Vv = (x-4)/Vm Когда мотоциклист проехал AB = x км, велосипедист проехал x-15 км. x/Vm = (x-15)/Vv Получаем систему. Умножаем все на Vv и на Vm { 4Vm = (x - 4)*Vv { (x - 15)*Vm = x*Vv Раскрываем скобки { 4Vm = x*Vv - 4Vv { x*Vm - 15*Vm = x*Vv Преобразуем { x*Vv = 4(Vm + Vv) { x*(Vm - Vv) = 15Vm Подставляем x = 4(Vm + Vv) / Vv = 15Vm / (Vm - Vv) 4(Vm + Vv)(Vm - Vv) = 15Vm*Vv 4Vm^2 - 4Vv^2 = 15Vm*Vv Делим все на Vv^2 4(Vm/Vv)^2 - 15(Vm/Vv) - 4 = 0 Получили квадратное уравнение относительно Vm / Vv D = 15^2 - 4*4*(-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2 (Vm/Vv)1 = (15 - 17)/8 < 0 - не подходит (Vm/Vv)2 = (15 + 17)/8 = 32/8 = 4 Скорость мотоциклиста в 4 раза больше скорости велосипедиста. Значит, в момент встречи велосипедист проехал 4 км, а мотоциклист в 4 раза больше, то есть 16 км. AB = x = 4 + 16 = 20 км.
Если разрешается пользоваться теоремой Эйлера, то все несложно. Решение прицеплено в картинке.
более скучный, зато совсем школьный). Будем вычислять три последние цифры у различных степеней семерки до тех пор, пока эти три цифры не станут 001. В первой колонке степень n, а во второй - три последних цифры числа 7ⁿ: 1 7 2 49 3 343 4 401 5 807 6 649 7 543 8 801 9 607 10 249 11 743 12 201 13 407 14 849 15 943 16 601 17 207 18 449 19 143 20 001 Т.е. мы видим, что число 7²⁰ заканчивается на ...001, а значит и его любая степень тоже заканчивается на ...001. Итак, 7⁹⁹⁹⁹=(7²⁰)⁴⁹⁹·7¹⁹, т.е. последние 3 цифры числа 7⁹⁹⁹⁹ будут такими же, как у числа 7¹⁹, т.е. 143.
Надо заметить, что это не совсем "честный" Если заранее не знать, что уже на 20-ой степени мы получим 001, то вполне могло оказаться, что 001 не появится через относительно небольшое количество шагов. Поэтому, когда надо узнать несколько последних цифр числа без компьютера или подсказок, с этим методом рискованно связываться.
t = 4/Vv = (x-4)/Vm
Когда мотоциклист проехал AB = x км, велосипедист проехал x-15 км.
x/Vm = (x-15)/Vv
Получаем систему. Умножаем все на Vv и на Vm
{ 4Vm = (x - 4)*Vv
{ (x - 15)*Vm = x*Vv
Раскрываем скобки
{ 4Vm = x*Vv - 4Vv
{ x*Vm - 15*Vm = x*Vv
Преобразуем
{ x*Vv = 4(Vm + Vv)
{ x*(Vm - Vv) = 15Vm
Подставляем
x = 4(Vm + Vv) / Vv = 15Vm / (Vm - Vv)
4(Vm + Vv)(Vm - Vv) = 15Vm*Vv
4Vm^2 - 4Vv^2 = 15Vm*Vv
Делим все на Vv^2
4(Vm/Vv)^2 - 15(Vm/Vv) - 4 = 0
Получили квадратное уравнение относительно Vm / Vv
D = 15^2 - 4*4*(-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2
(Vm/Vv)1 = (15 - 17)/8 < 0 - не подходит
(Vm/Vv)2 = (15 + 17)/8 = 32/8 = 4
Скорость мотоциклиста в 4 раза больше скорости велосипедиста.
Значит, в момент встречи велосипедист проехал 4 км, а мотоциклист в 4 раза больше, то есть 16 км.
AB = x = 4 + 16 = 20 км.
более скучный, зато совсем школьный).
Будем вычислять три последние цифры у различных степеней семерки до тех пор, пока эти три цифры не станут 001.
В первой колонке степень n, а во второй - три последних цифры числа 7ⁿ:
1 7
2 49
3 343
4 401
5 807
6 649
7 543
8 801
9 607
10 249
11 743
12 201
13 407
14 849
15 943
16 601
17 207
18 449
19 143
20 001
Т.е. мы видим, что число 7²⁰ заканчивается на ...001, а значит и его любая степень тоже заканчивается на ...001. Итак, 7⁹⁹⁹⁹=(7²⁰)⁴⁹⁹·7¹⁹, т.е. последние 3 цифры числа 7⁹⁹⁹⁹ будут такими же, как у числа 7¹⁹, т.е. 143.
Надо заметить, что это не совсем "честный" Если заранее не знать, что уже на 20-ой степени мы получим 001, то вполне могло оказаться, что 001 не появится через относительно небольшое количество шагов. Поэтому, когда надо узнать несколько последних цифр числа без компьютера или подсказок, с этим методом рискованно связываться.