В
Все
М
Математика
А
Английский язык
Х
Химия
Э
Экономика
П
Право
И
Информатика
У
Українська мова
Қ
Қазақ тiлi
О
ОБЖ
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
У
Українська література
М
Музыка
П
Психология
А
Алгебра
Л
Литература
Б
Биология
М
МХК
О
Окружающий мир
О
Обществознание
И
История
Г
Геометрия
Ф
Французский язык
Ф
Физика
Д
Другие предметы
Р
Русский язык
Г
География
Aleks4565
Aleks4565
20.05.2021 18:30 •  Математика

13. В mathleague три раунда: Sprint, Target и Team. В Sprint 30 заданий, в Team 10 заданий, в Target 8 заданий. Вопросы случайным образом перемешали. Каково математическое ожидание числа заданий из других раундов, попавших в Sprint? (Объясните поподробней как нужно находить математическое ожидание ; и для чего оно )

Показать ответ
Ответ:
Cancanich
Cancanich
01.09.2021 16:38

Математическое ожидание - сумма попарных произведений значений случайной величины на вероятности, с которыми эти величины достигаются.

То есть, если значение x_1 достигается с вероятностью p_1, значение x_2 - с вероятностью x_2, и так далее, значение x_n - с вероятностью x_n, то математическое ожидание:

M(x)=x_1p_1+x_2p_2+...+x_np_n=\sum\limits_{i=1}^{n}x_ip_i

Математическое ожидание показывает среднее или наиболее вероятное значение случайной величины. В единичном испытании математическое ожидание равно вероятности события.

Для вычисления мат.ожидания как ожидаемого числа вопросов используем формулу:

M(x)=pn, где p - вероятность осуществления некоторого события, n - число повторений.

В нашем случае, p - вероятность того, что очередной вопрос не из группы "спринт", n - число вопросов группы "спринт" (нас интересует сколько раз среди них встретится вопрос не группы "спринт").

Поскольку вопросов не из группы "спринт" 10+8=18, а общее число вопросов 30+10+8=48, то вероятность того, что очередной вопрос не из группы "спринт" равна:

p=\dfrac{18}{48}

Число вопросов группы "спринт": n=30

Тогда:

M(x)=\dfrac{18}{48}\cdot30 =11.25

Конечно, можно действовать по первой формуле.

Для этого рассмотрим возможные количества вопросов не из группы "спринт", которые могли оказаться в группе "спринт". Это количества: 0, 1, 2, ..., 17, 18.

Найдем вероятности осуществления этих возможностей. Так как общий смысл сохраняется во всех ситуациях, то рассмотрим нахождение вероятности в общем виде - найдем с какой вероятностью i вопросов не из группы "спринт" попадут в группу "спринт".

Число выбрать вопросы в группу "спринт" с учетом этого условия соответствует тому, что из 18 вопросов не группы "спринт" мы выберем некоторые i штук, а остальные (30-i) штук мы выберем из 30 вопросов группы "спринт". Итоговое число благоприятных комбинаций: C_{30}^{30-i}\cdot C_{18}^i=C_{30}^i\cdot C_{18}^i.

Общее число выбрать вопросы в группу "спринт" соответствует тому, что из всех 48 вопросов мы выберем некоторые 30 штук. Общее число комбинаций: C_{48}^{30}.

Тогда, ситуации, что в группе "спринт" окажется i вопросов не из группы "спринт", соответствует вероятность \dfrac{C_{30}^i\cdot C_{18}^i}{C_{48}^{30}}.

Запишем математическое ожидание как сумму попарных произведений значений на вероятность:

M(x)=\sum\limits_{i=0}^{18}\left(i\cdot \dfrac{C_{30}^i\cdot C_{18}^i}{C_{48}^{30}}\right)

Можно попробовать упростить эту формулу:

M(x)=\sum\limits_{i=0}^{18}\left(i\cdot \dfrac{\dfrac{30!}{i!\cdot(30-i)!} \cdot \dfrac{18!}{i!\cdot(18-i)!} }{\dfrac{48!}{30!\cdot18!} }\right)

M(x)=\sum\limits_{i=0}^{18} \dfrac{i\cdot(30!\cdot18!)^2}{ (i!)^2\cdot(30-i)!\cdot(18-i)!\cdot48!}

M(x)=\dfrac{(30!\cdot18!)^2}{48!} \cdot \sum\limits_{i=0}^{18} \dfrac{i}{ (i!)^2\cdot(30-i)!\cdot(18-i)!}

Далее нужно каким-либо досчитать эту величину. Вычисления дают полученный ранее результат:

M(x)=11.25

Учитывая контекст вопроса, а именно, что мат.ожидание соответствует числу вопросов, попавших в группу "спринт", запишем также округленное до целого числа значение мат.ожидания:

M(x)\approx11

ответ: M(x)=11.25\approx11


13. В mathleague три раунда: Sprint, Target и Team. В Sprint 30 заданий, в Team 10 заданий, в Target
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота